Lập sơ đồ PERT/CPM và tìm đường găng trên trình duyệt
Công cụ sơ đồ PERT/CPM này giải đúng dạng bài mà sinh viên quản trị dự án, xây dựng, kinh tế hay gặp và người lập kế hoạch thực tế cần: cho danh sách công việc, thời gian và việc làm trước, tìm thời gian hoàn thành, đường găng và thời gian dự trữ của từng việc. Bạn nhập thời gian cố định (CPM) hoặc ước lượng ba điểm a, m, b (PERT); trang chạy lượt đi, lượt về, liệt kê mọi đường găng, vẽ sơ đồ mạng AON, tính xác suất hoàn thành trước hạn theo phân phối chuẩn, và cho tải ảnh sơ đồ cùng bảng Excel.
Tính năng nổi bật
- Hai chế độ: thời gian cố định (CPM) và ước lượng ba điểm (PERT) với te = (a + 4m + b) / 6, phương sai = ((b − a) / 6)²
- Bảng nhập trực tiếp: mã, tên, việc trước (cách nhau bằng dấu phẩy, chấm phẩy hoặc khoảng trắng), thời gian; nhận số thập phân dấu phẩy
- Dán bảng từ Excel (tab) hoặc văn bản phân cách bằng chấm phẩy, tự bỏ dòng tiêu đề
- Báo lỗi cụ thể: mã trùng (không phân biệt hoa thường), việc trước không tồn tại, việc tự làm trước chính nó, a ≤ m ≤ b sai, và chỉ ra vòng lặp ví dụ A → B → C → A
- Tính ES, EF, LS, LF, thời gian dự trữ toàn phần (TF = LS − ES) và dự trữ tự do (FF = ES nhỏ nhất của việc sau − EF)
- Liệt kê tất cả đường găng khi có nhiều đường (tối đa 50 đường), kèm phương sai từng đường ở chế độ PERT
- Xác suất hoàn thành trước thời hạn D: z = (D − T) / σ, tra hàm phân phối chuẩn; và chiều ngược lại: thời hạn cần đặt cho xác suất mong muốn
- Sơ đồ mạng AON tự xếp lớp theo thứ tự topo, có nút Bắt đầu và Kết thúc, mỗi nút ghi ES, thời gian, EF, LS, TF, LF; công việc và mũi tên găng tô đỏ
- Tải sơ đồ PNG, SVG; tải Excel gồm sheet bảng tính đầy đủ và sheet tóm tắt (thời gian dự án, đường găng, σ, xác suất)
- Chọn đơn vị ngày, tuần, tháng, giờ; bảng nhập tự lưu trên trình duyệt để làm tiếp lần sau
Khi nào cần sơ đồ PERT/CPM
Biểu đồ Gantt cho bạn thấy công việc nào làm lúc nào, nhưng không trả lời câu hỏi quan trọng nhất của người quản lý dự án: việc nào chậm một ngày thì cả dự án chậm một ngày, việc nào được phép trễ và trễ tối đa bao lâu. Phương pháp đường găng (CPM) trả lời đúng câu hỏi đó, còn PERT bổ sung phần rủi ro: khi thời gian mỗi việc chỉ ước lượng được trong một khoảng, khả năng xong đúng hạn là bao nhiêu. Tính tay một dự án 10 công việc đã mất vài chục phép cộng trừ và rất dễ nhầm ở lượt về; dự án 30, 40 công việc thì gần như phải dùng phần mềm. Trang này làm các phép tính đó, vẽ sơ đồ mạng để bạn đối chiếu và chép vào bài, đồng thời giữ nguyên các cột ES, EF, LS, LF như sách giáo trình để bạn kiểm tra từng bước.
Lợi ích khi sử dụng
- Biết chính xác việc nào không được phép chậm để tập trung theo dõi
- Biết mỗi việc không găng được trễ bao lâu mà không ảnh hưởng ngày kết thúc
- Kiểm tra lời giải bài tập PERT/CPM từng bước theo đúng các cột của giáo trình
- Ước lượng khả năng hoàn thành đúng hạn thay vì chỉ có một con số duy nhất
- Phát hiện lỗi logic trong kế hoạch như vòng lặp hay việc trước bị gõ sai mã
- Có sơ đồ mạng và bảng Excel để đưa vào báo cáo, bài tập lớn hoặc hồ sơ dự án
Các bước lập sơ đồ PERT/CPM
- 1Chọn Thời gian cố định (CPM) nếu mỗi việc có một con số thời gian, hoặc Ước lượng ba điểm (PERT) nếu có a, m, b. Chọn Đơn vị thời gian.
- 2Nhập từng công việc vào bảng: Mã, Tên công việc, Việc trước (ví dụ "A, B"; để trống nếu là việc bắt đầu) và thời gian. Bấm Thêm dòng để thêm việc, hoặc Dữ liệu mẫu để xem ví dụ.
- 3Nếu đã có bảng trong Excel, bấm Dán từ Excel, dán các cột Mã, Tên, Việc trước, thời gian rồi bấm Nhập vào bảng.
- 4Đọc khung thông báo lỗi nếu có (mã trùng, việc trước không tồn tại, vòng lặp) và sửa lại bảng.
- 5Xem thời gian hoàn thành dự án, đường găng, sơ đồ mạng AON và bảng kết quả ES, EF, LS, LF, dự trữ toàn phần, dự trữ tự do.
- 6Ở chế độ PERT, nhập Thời hạn cần hoàn thành để xem xác suất, hoặc nhập Xác suất mong muốn (%) để biết nên đặt thời hạn bao nhiêu.
- 7Bấm Tải PNG hoặc Tải SVG để lấy sơ đồ, Tải Excel để lấy bảng tính và phần tóm tắt.
Lượt đi, lượt về và các đại lượng ES, EF, LS, LF
Lượt đi đi từ đầu tới cuối mạng theo thứ tự topo. Việc không có việc trước bắt đầu sớm nhất tại 0. Thời điểm bắt đầu sớm ES của một việc bằng giá trị lớn nhất trong các EF của việc trước nó, vì phải chờ tất cả việc trước xong; thời điểm kết thúc sớm EF = ES + t. Thời gian hoàn thành dự án T là EF lớn nhất. Lượt về đi ngược lại: việc không có việc sau có thời điểm kết thúc muộn LF = T; với việc khác, LF bằng giá trị nhỏ nhất trong các LS của việc sau, và thời điểm bắt đầu muộn LS = LF − t. Hai lượt này chỉ dùng quan hệ kết thúc rồi mới bắt đầu (finish-to-start) không có độ trễ, đúng dạng của gần như mọi bài tập PERT/CPM. Trang sắp thứ tự topo bằng thuật toán Kahn; nếu còn việc không xếp được thì mạng có vòng lặp và trang chỉ ra vòng đó.
Thời gian dự trữ toàn phần và dự trữ tự do khác nhau thế nào
Dự trữ toàn phần TF = LS − ES (cũng bằng LF − EF) là khoảng thời gian một việc được phép trễ mà dự án vẫn xong đúng T, với điều kiện các việc khác không dùng phần dự trữ đó. Dự trữ tự do FF = (ES nhỏ nhất của các việc ngay sau) − EF là khoảng một việc được trễ mà không làm chậm ES của bất kỳ việc nào ngay sau nó. FF luôn nhỏ hơn hoặc bằng TF. Trong dữ liệu mẫu, việc B (Chuẩn bị nhân sự) có TF = 1 nhưng FF = 0: nếu B trễ, việc D bị đẩy lùi ngay dù cả dự án chưa chậm; còn việc F (Viết tài liệu) có TF = FF = 6, trễ tới 6 tuần cũng không ảnh hưởng ai. Với việc không có việc sau, trang tính FF so với T. Phần lớn giáo trình gọi TF là thời gian dự trữ chung hoặc thời gian dự trữ toàn phần; tên gọi có thể khác nhưng công thức như trên.
Đường găng và trường hợp có nhiều đường găng
Công việc găng là việc có TF = 0. Đường găng là chuỗi việc găng nối từ đầu tới cuối mạng, trong đó mỗi việc kết thúc đúng lúc việc sau bắt đầu (EF việc trước = ES việc sau); tổng thời gian trên đường đó bằng T, và đây là đường dài nhất của mạng. Một mạng có thể có nhiều đường găng, ví dụ hai nhánh song song cùng dài. Trang duyệt mọi nhánh đi qua các việc găng thỏa điều kiện trên và liệt kê từng đường; nếu có hơn 50 đường, danh sách dừng ở 50 và có dấu cộng sau số đường. Chỉ dựa vào cột TF = 0 để khoanh đường găng đôi khi gây nhầm, vì hai việc găng chưa chắc nối thành đường liền; cách duyệt của trang tránh lỗi này.
PERT: thời gian ba điểm và xác suất hoàn thành
Khi không chắc một việc mất bao lâu, PERT dùng ba ước lượng: a lạc quan, m thường gặp nhất, b bi quan. Thời gian kỳ vọng te = (a + 4m + b) / 6 và phương sai σ² = ((b − a) / 6)², xuất phát từ giả định phân phối beta. Thời gian dự án T được tính như CPM với te. Phương sai của dự án lấy bằng tổng phương sai các việc trên đường găng, coi các việc độc lập; theo định lý giới hạn trung tâm, tổng này xấp xỉ phân phối chuẩn. Xác suất xong trước hạn D là Φ(z) với z = (D − T) / σ. Khi có nhiều đường găng, trang dùng đường có phương sai lớn nhất, cho kết quả thận trọng hơn; một số giáo trình chọn cách khác, nên hãy đối chiếu yêu cầu đề bài. Hàm Φ được tính bằng xấp xỉ erfc với sai số tương đối dưới 1,2 × 10⁻⁷, còn chiều ngược lại dùng thuật toán Acklam. Hạn chế đã biết của PERT: nó bỏ qua khả năng một đường không găng nhưng phương sai lớn lại trở thành đường dài nhất, nên xác suất tính ra thường lạc quan hơn thực tế.
Ví dụ có lời giải: dự án 8 công việc
Bấm Dữ liệu mẫu để nạp dự án: A Khảo sát yêu cầu (2 tuần), B Chuẩn bị nhân sự (3), C Thiết kế hệ thống (2, sau A), D Mua thiết bị (4, sau A và B), E Lập trình (4, sau C), F Viết tài liệu (3, sau C), G Lắp đặt, kiểm thử (5, sau D và E), H Đào tạo, bàn giao (2, sau F và G). Lượt đi cho ES của C là 2, D là 3, E là 4, F là 4, G là max(7, 8) = 8, H là max(7, 13) = 13; dự án xong sau T = 15 tuần. Lượt về cho LS của D là 4, B là 1, F là 10. Đường găng là A → C → E → G → H; B và D dự trữ 1 tuần, F dự trữ 6 tuần. Ở chế độ PERT với a, m, b có sẵn trong mẫu, te của các việc trùng với số trên; phương sai đường găng bằng 1/9 + 1/9 + 1 + 16/9 + 1/9 = 28/9 ≈ 3,111, σ ≈ 1,764. Xác suất xong trong 16 tuần là Φ(0,567) ≈ 71,5 %; muốn chắc 95 % thì cần khoảng 15 + 1,645 × 1,764 ≈ 17,9 tuần. Bạn có thể dùng ví dụ này để tự kiểm lại cách tính của mình.
Sơ đồ AON và AOA
Có hai cách vẽ sơ đồ mạng. AON (Activity on Node) đặt công việc trong nút và dùng mũi tên chỉ quan hệ trước sau; AOA (Activity on Arrow) đặt công việc trên mũi tên, nút là sự kiện, và phải thêm công việc giả (dummy) khi hai việc có chung việc trước một phần. Trang vẽ AON vì không cần việc giả và dễ đọc hơn khi mạng lớn. Các việc được xếp thành cột theo thứ tự topo: cột của một việc bằng số bước dài nhất từ đầu mạng tới nó, trong cột các việc được sắp theo vị trí trung bình của việc trước để giảm số mũi tên cắt nhau. Mỗi nút có ba ô trên là ES, thời gian, EF và ba ô dưới là LS, dự trữ toàn phần, LF, đúng cách trình bày nút AON trong nhiều giáo trình. Nếu đề bài yêu cầu vẽ AOA, bạn vẫn dùng được các số ES, EF, LS, LF ở bảng kết quả, vì kết quả tính toán của hai cách vẽ là như nhau.
Nguồn gốc của PERT và CPM
PERT (Program Evaluation and Review Technique) ra đời cuối những năm 1950 trong chương trình tên lửa Polaris của Hải quân Mỹ, nhằm quản lý một dự án có rất nhiều việc chưa từng làm, thời gian khó đoán. CPM (Critical Path Method) được phát triển cùng thời kỳ ở công ty DuPont cùng Remington Rand cho các dự án bảo trì, xây lắp nhà máy, nơi thời gian từng việc đã khá rõ. Ngày nay hai tên thường đi chung thành PERT/CPM: phần tính đường găng giống nhau, PERT thêm phần xác suất. Phương pháp này có mặt trong hầu hết giáo trình quản trị dự án, quản trị sản xuất và tổ chức thi công xây dựng.
Giới hạn của công cụ
Trang chỉ xử lý quan hệ kết thúc rồi bắt đầu không có độ trễ; chưa hỗ trợ quan hệ bắt đầu cùng lúc (SS), kết thúc cùng lúc (FF theo nghĩa quan hệ) hay độ trễ (lag). Không có lịch làm việc, ngày nghỉ hay ngày tháng cụ thể: mọi kết quả tính theo đơn vị thời gian tương đối từ 0. Không có cân đối nguồn lực, rút ngắn thời gian bằng chi phí (crashing) hay sơ đồ PERT vẽ trên trục thời gian. Sơ đồ mạng tự xếp vị trí nên với mạng lớn có thể có mũi tên cắt ngang nút; tải file SVG nếu cần chỉnh lại bằng phần mềm vẽ. Toàn bộ tính toán chạy trên trình duyệt của bạn.
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Sơ đồ PERT là gì, PERT/CPM là gì?
Sơ đồ PERT là sơ đồ mạng biểu diễn các công việc của dự án và quan hệ trước sau giữa chúng, dùng để tính thời gian hoàn thành và tìm đường găng. PERT (Program Evaluation and Review Technique) dùng thời gian ước lượng ba điểm để tính cả xác suất xong đúng hạn, còn CPM (Critical Path Method) dùng thời gian cố định. Trang làm được cả hai: chọn Thời gian cố định (CPM) hoặc Ước lượng ba điểm (PERT).
Đường găng là gì?
Là chuỗi công việc dài nhất từ đầu tới cuối dự án, gồm các việc có thời gian dự trữ bằng 0. Bất kỳ việc nào trên đường găng bị chậm thì cả dự án chậm theo đúng khoảng đó. Trang liệt kê mọi đường găng và tô đỏ trên sơ đồ.
Cách tìm đường găng trong sơ đồ PERT?
Tính lượt đi để có ES, EF, lượt về để có LS, LF, rồi lấy các việc có LS − ES = 0. Nối các việc đó từ đầu tới cuối sao cho EF việc trước bằng ES việc sau. Trang làm tự động và hiện kết quả ngay khi bạn nhập xong bảng.
Công thức thời gian kỳ vọng te trong PERT?
te = (a + 4m + b) / 6, trong đó a là thời gian lạc quan, m là thời gian thường gặp nhất, b là thời gian bi quan. Phương sai của việc là ((b − a) / 6)². Trang hiện te và σ² của từng việc trong bảng kết quả.
Tính xác suất hoàn thành dự án trước thời hạn thế nào?
Lấy z = (D − T) / σ, với T là thời gian dự án, σ là căn bậc hai tổng phương sai các việc trên đường găng, rồi tra bảng phân phối chuẩn Φ(z). Trên trang, chọn chế độ PERT và nhập Thời hạn cần hoàn thành để xem z và xác suất.
Dự trữ toàn phần và dự trữ tự do khác nhau ra sao?
Dự trữ toàn phần là thời gian việc được trễ mà dự án không chậm. Dự trữ tự do là thời gian việc được trễ mà không làm chậm việc ngay sau nó. Dự trữ tự do không bao giờ lớn hơn dự trữ toàn phần.
Sơ đồ AON và AOA khác nhau thế nào? Trang vẽ loại nào?
AON đặt công việc trong nút, AOA đặt công việc trên mũi tên và có thể cần việc giả. Trang vẽ AON. Các số ES, EF, LS, LF và đường găng giống nhau ở cả hai cách vẽ, nên bạn vẫn dùng được kết quả khi đề yêu cầu vẽ AOA bằng tay.
Có giải được bài tập sơ đồ PERT có nhiều đường găng không?
Có. Trang liệt kê tất cả đường găng, tối đa 50 đường. Ở chế độ PERT, mỗi đường có phương sai riêng và trang dùng đường có phương sai lớn nhất để tính xác suất; nếu đề bài quy định cách khác, bạn lấy phương sai từng đường hiện bên cạnh để tự tính.
Nhập việc trước như thế nào?
Ghi mã các việc trước, cách nhau bằng dấu phẩy, chấm phẩy hoặc khoảng trắng, ví dụ "A, B". Việc bắt đầu thì để trống hoặc ghi dấu gạch ngang. Mã không phân biệt chữ hoa thường.
Trang báo có vòng lặp nghĩa là sao?
Nghĩa là các việc chờ nhau thành vòng tròn, ví dụ A cần B xong, B cần C xong, C lại cần A xong, nên không việc nào bắt đầu được. Trang chỉ ra một vòng cụ thể để bạn sửa; thường là gõ nhầm mã ở cột Việc trước.
Có nhập thời gian lẻ như 2,5 ngày được không?
Được, dùng dấu phẩy hoặc dấu chấm thập phân đều được. Kết quả hiện tối đa 2 chữ số thập phân trên màn hình, còn file Excel giữ 4 chữ số.
Việc có thời gian bằng 0 có dùng được không?
Được. Việc thời gian 0 thường dùng làm mốc, ví dụ mốc ký hợp đồng hay mốc nghiệm thu. Trang tính bình thường và có thể đưa mốc đó vào đường găng.
Có xuất sơ đồ sang Word được không?
Bấm Tải PNG rồi chèn ảnh vào Word bằng Insert, Pictures. Nếu dùng Word bản mới, bạn có thể chèn file SVG để phóng to không vỡ nét. Bảng kết quả lấy từ file Excel rồi dán vào Word.
Muốn chắc 95 % xong đúng hạn thì đặt thời hạn bao nhiêu?
Nhập 95 vào ô Xác suất mong muốn, trang tính thời hạn = T + z × σ với z ≈ 1,645. Với dữ liệu mẫu, kết quả khoảng 17,9 tuần so với T = 15 tuần.
Vì sao xác suất tính ra có thể lạc quan hơn thực tế?
PERT chỉ xét đường găng và coi các việc độc lập. Một đường gần găng nhưng có phương sai lớn vẫn có thể trở thành đường dài nhất khi thực hiện, và các việc trong thực tế hay chậm cùng lúc. Kết quả nên dùng làm tham khảo, không phải cam kết.
Trang có vẽ sơ đồ PERT cải tiến (theo trục thời gian) không?
Không. Sơ đồ PERT cải tiến hay sơ đồ mạng có trục thời gian trong giáo trình xây dựng đặt các công việc theo đúng ngày bắt đầu trên một thang thời gian; trang chỉ vẽ sơ đồ mạng AON với các ô ES, EF, LS, LF. Bạn có thể dùng bảng ES, EF trong file Excel tải về để dựng sơ đồ theo trục thời gian hoặc biểu đồ Gantt.
Đường găng trên trang có giống đường găng trong MS Project không?
Cùng nguyên lý: công việc găng là việc có dự trữ toàn phần bằng 0, chậm việc nào thì cả dự án chậm theo. MS Project còn tính theo lịch làm việc, ngày nghỉ, ràng buộc ngày cố định và các kiểu liên kết bắt đầu cùng lúc hay có độ trễ; trang chỉ dùng liên kết kết thúc rồi mới bắt đầu, không có lịch, nên phù hợp để giải bài tập và kiểm tra nhanh tiến độ thi công trước khi nhập vào phần mềm.
Khác gì công cụ vẽ biểu đồ Gantt?
Biểu đồ Gantt cho thấy thời gian từng việc trên trục ngày, còn trang này tính đường găng, dự trữ và xác suất mà biểu đồ Gantt thông thường không tính. Bạn có thể dùng ES, EF ở đây để dựng biểu đồ Gantt đúng thứ tự.
Dữ liệu có bị mất khi đóng trang không?
Bảng nhập, chế độ và đơn vị thời gian được lưu tự động trên trình duyệt bạn đang dùng. Dữ liệu không gửi lên máy chủ, nên đổi máy hoặc xóa dữ liệu trình duyệt sẽ không còn; hãy tải Excel để lưu lại.
Trang có tính rút ngắn thời gian dự án (crashing) không?
Không. Trang chỉ tính thời gian, dự trữ, đường găng và xác suất. Rút ngắn theo chi phí, cân đối nguồn lực và lịch ngày làm việc nằm ngoài phạm vi của công cụ.
Từ khóa liên quan
- sơ đồ pert
- sơ đồ pert cpm
- sơ đồ pert online
- sơ đồ pert là gì
- sơ đồ pert và đường găng
- sơ đồ pert bài tập
- sơ đồ pert aon
- sơ đồ pert aoa
- cách tìm đường găng
- đường găng là gì
- phương pháp đường găng cpm
- thời gian dự trữ toàn phần
- thời gian dự trữ tự do
- cách tính es ef ls lf
- xác suất hoàn thành dự án pert
- công thức te = (a+4m+b)/6
- bài tập pert cpm có lời giải
- critical path calculator
- sơ đồ mạng dự án
- lập kế hoạch dự án pert
- quản trị dự án đường găng