Tính tổ hợp, chỉnh hợp và xác suất: chọn đúng công thức trước khi bấm máy
Công cụ gộp bốn phép tính hay dùng nhất trong bài toán đếm và xác suất: tổ hợp chọn r phần tử từ n, chỉnh hợp có tính thứ tự, xác suất cổ điển bằng số trường hợp thuận lợi chia tổng số trường hợp, và xác suất để hai biến cố độc lập cùng xảy ra. Mỗi kết quả hiện kèm công thức đã thay số để bạn kiểm tra lại mình có chọn đúng dạng bài hay không.
Tính năng nổi bật
- Tính tổ hợp chọn r phần tử từ n phần tử, không tính thứ tự
- Tính chỉnh hợp lấy r phần tử từ n phần tử theo công thức n giai thừa chia cho hiệu giai thừa, có tính thứ tự
- Tính xác suất cổ điển bằng số trường hợp thuận lợi chia cho tổng số trường hợp
- Tính xác suất giao của hai biến cố độc lập bằng tích hai xác suất thành phần
- Hiện công thức đã thay số cụ thể chứ không chỉ trả về một con số trơ
- Hai chế độ xác suất hiển thị thêm giá trị phần trăm với bốn chữ số thập phân
- Có dòng giải thích ngắn nói rõ kết quả vừa tính mang ý nghĩa gì
- Nút sao chép đưa cả loại phép tính, công thức và kết quả vào clipboard
Bài xác suất hầu như không sai ở phép tính, mà sai ở chỗ chọn công thức
Khi làm bài đếm, phần khó không nằm ở việc nhân chia mà nằm ở một câu hỏi duy nhất: thứ tự có quan trọng không, và các phần tử có được lấy lại không. Trả lời sai câu này thì mọi phép tính sau đó đều vô nghĩa dù bấm máy chính xác tới đâu. Chọn ba người vào một ban gồm ba vị trí trưởng, phó, thư ký khác hẳn với chọn ba người vào một nhóm không phân vai, và hai bài toán này lệch nhau đúng một hệ số bằng giai thừa của ba, tức sáu lần. Đó là lý do công cụ tách sẵn từng dạng thành từng lựa chọn riêng và hiện lại công thức đã thay số bên cạnh kết quả: bạn nhìn dòng công thức là biết ngay mình vừa hỏi máy điều gì. Nó không thay bạn quyết định dạng bài, nhưng nó làm cho quyết định đó hiện ra thành chữ để bạn kịp nhận ra khi chọn nhầm, thay vì chép một con số sai vào bài làm.
Lợi ích khi sử dụng
- Nhìn thấy công thức đã thay số nên phát hiện được ngay khi chọn nhầm dạng bài
- Không phải bấm giai thừa từng bước trên máy tính cầm tay, tránh sai ở bước trung gian
- Kết quả xác suất hiện cả dạng thập phân và dạng phần trăm nên dễ đối chiếu với đề bài
- Bốn dạng gói trong một trang, không phải mở nhiều công cụ khác nhau
- Chạy trong trình duyệt, số liệu bạn nhập không được gửi lên máy chủ nào
Cách dùng công cụ tính xác suất
- 1Xác định trước bài toán của bạn thuộc dạng nào bằng cách tự hỏi thứ tự có làm thay đổi kết quả hay không.
- 2Chọn loại tính toán tương ứng: tổ hợp khi thứ tự không quan trọng, chỉnh hợp khi thứ tự quan trọng, hai chế độ còn lại khi tính xác suất.
- 3Nhập các giá trị, lưu ý với tổ hợp và chỉnh hợp thì n phải lớn hơn hoặc bằng r, còn với xác suất thì hai giá trị đưa vào phải nằm trong khoảng từ 0 tới 1.
- 4Bấm tính rồi đọc dòng công thức đã thay số trước khi đọc kết quả, đây là bước phát hiện chọn nhầm dạng bài.
- 5Với hai chế độ xác suất, đối chiếu thêm giá trị phần trăm bên dưới để kiểm tra kết quả có hợp lý với trực giác hay không.
Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị: phân biệt bằng đúng hai câu hỏi
Câu hỏi thứ nhất là thứ tự có quan trọng không. Nếu không, bạn dùng tổ hợp, tính bằng n giai thừa chia cho tích của r giai thừa và hiệu n trừ r giai thừa. Nếu có, bạn dùng chỉnh hợp, tính bằng n giai thừa chia cho hiệu n trừ r giai thừa. Hai công thức chỉ khác nhau đúng một thừa số r giai thừa ở mẫu, nên chỉnh hợp luôn lớn hơn tổ hợp đúng r giai thừa lần. Ví dụ với 10 phần tử lấy 3: tổ hợp cho 120 cách, chỉnh hợp cho 720 cách, tỷ lệ đúng bằng 3 giai thừa là 6. Hoán vị là trường hợp riêng của chỉnh hợp khi r bằng n, tức xếp toàn bộ n phần tử, và kết quả bằng n giai thừa. Cần lưu ý một điểm về cách gọi tên: lựa chọn thứ hai trong công cụ hiển thị nhãn tiếng Anh là permutation và được dịch là hoán vị, nhưng công thức nó dùng là công thức chỉnh hợp chập r của n theo cách gọi trong sách giáo khoa Việt Nam. Muốn tính hoán vị thuần, bạn chỉ cần nhập r bằng n. Câu hỏi thứ hai là phần tử có được lấy lại hay không, và công cụ này chỉ xử lý trường hợp không lấy lại.
Xác suất cổ điển và điều kiện để công thức đó đúng
Chế độ xác suất đơn giản lấy số trường hợp thuận lợi chia cho tổng số trường hợp. Công thức quen tới mức người ta hay quên rằng nó chỉ đúng khi mọi trường hợp có khả năng xảy ra như nhau. Gieo một con xúc xắc cân đối thì sáu mặt đồng khả năng, xác suất ra mặt sáu là một phần sáu, tức khoảng 16,6667 phần trăm. Nhưng gieo hai con xúc xắc rồi hỏi xác suất tổng bằng 7 thì bạn không được lấy một chia cho mười một dù tổng có thể nhận mười một giá trị từ 2 tới 12, bởi các tổng này không đồng khả năng. Phải đếm trên không gian 36 cặp có thứ tự, trong đó có 6 cặp cho tổng 7, ra một phần sáu. Sai lầm phổ biến nhất khi dùng công thức này là đếm mẫu số trên một không gian không đồng khả năng. Mẹo kiểm tra là hãy mô tả rõ một phép thử cho ra đúng một phần tử của mẫu số, nếu bạn không mô tả được thì mẫu số đang sai.
Nhân hai xác suất chỉ đúng khi hai biến cố độc lập
Chế độ thứ tư lấy tích của hai xác suất bạn nhập, và đây là công thức xác suất để cả hai biến cố cùng xảy ra khi chúng độc lập, tức việc biến cố này xảy ra không làm thay đổi khả năng xảy ra của biến cố kia. Gieo hai xúc xắc là ví dụ chuẩn: xác suất cả hai cùng ra mặt sáu là một phần sáu nhân một phần sáu, bằng một phần ba mươi sáu, khoảng 2,7778 phần trăm. Nhưng rút hai lá bài liên tiếp mà không trả lại thì hai biến cố không độc lập, vì sau lần rút thứ nhất bộ bài đã đổi. Lúc đó công thức đúng phải dùng xác suất có điều kiện, tức xác suất của biến cố thứ hai được tính lại trong bối cảnh biến cố thứ nhất đã xảy ra. Công cụ không tính xác suất có điều kiện, cũng không kiểm tra hộ bạn hai biến cố có độc lập hay không, nó chỉ nhân hai số bạn đưa vào. Trách nhiệm khẳng định tính độc lập là của bạn, và đây là chỗ sai nhiều nhất khi áp dụng vào bài toán thực tế.
Giới hạn số học: khi nào kết quả bắt đầu sai
Công cụ tính tổ hợp và chỉnh hợp bằng cách tính giai thừa đầy đủ rồi chia, chứ không rút gọn trước, nên nó chạm giới hạn của số thực dấu chấm động khá sớm. Số nguyên chỉ được biểu diễn chính xác tới khoảng chín triệu tỷ, tương ứng với 18 giai thừa; từ 19 giai thừa trở đi các giá trị trung gian đã bị làm tròn. Hệ quả là với n vượt quá khoảng 18 tới 20, kết quả có thể hiện ra với phần đuôi thập phân lạ dù đáp án đúng phải là số nguyên, chẳng hạn tổ hợp chọn 6 từ 45 cho ra con số quanh 8.145.060 nhưng có thể kèm sai số nhỏ ở hàng cuối. Nghiêm trọng hơn, 171 giai thừa vượt quá giá trị lớn nhất mà kiểu số thực biểu diễn được, nên với n từ 171 trở lên bạn sẽ nhận được kết quả vô nghĩa. Ngoài ra khi bạn nhập r lớn hơn n, công cụ trả về 0 theo quy ước, không báo lỗi. Với các bài toán có n lớn, hãy dùng phần mềm hỗ trợ số nguyên lớn hoặc rút gọn công thức bằng tay trước.
Vài con số thực tế và một ngộ nhận rất đắt
Xổ số chọn 6 số trong 45 số có tổng cộng 8.145.060 bộ kết quả, nên xác suất trúng giải cao nhất với một vé là một phần tám triệu một trăm bốn mươi lăm nghìn. Chọn 6 số trong 55 số cho 28.989.675 bộ, xác suất giảm hơn ba lần. Mã PIN bốn chữ số không lặp lại có 5.040 khả năng theo chỉnh hợp, trong khi cho phép lặp thì có 10.000 khả năng, và con số thứ hai không tính được bằng công cụ này vì đây là chỉnh hợp lặp. Một kết quả nổi tiếng đáng nhớ: trong nhóm 23 người, xác suất có ít nhất hai người trùng ngày sinh đã vượt 50 phần trăm, cao hơn nhiều so với cảm giác thông thường, vì số cặp cần so là tổ hợp chọn 2 từ 23 bằng 253 cặp chứ không phải 23. Cuối cùng là ngộ nhận của người đánh bạc: xúc xắc vừa ra bốn lần mặt sáu liên tiếp không hề làm giảm khả năng ra mặt sáu ở lần thứ năm, vì mỗi lần gieo độc lập với quá khứ. Xác suất vẫn đúng một phần sáu.
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Tổ hợp và chỉnh hợp khác nhau ở đâu?
Tổ hợp không tính thứ tự, chỉnh hợp có tính thứ tự. Chọn ba người vào một nhóm không phân vai là tổ hợp; chọn ba người vào ba vị trí trưởng, phó, thư ký là chỉnh hợp. Về công thức, chỉnh hợp luôn lớn hơn tổ hợp đúng r giai thừa lần, ví dụ với 10 phần tử lấy 3 thì tổ hợp cho 120 còn chỉnh hợp cho 720.
Lựa chọn ghi là hoán vị nhưng kết quả không phải n giai thừa, vì sao?
Vì công thức được dùng là n giai thừa chia cho hiệu n trừ r giai thừa, đúng theo định nghĩa chỉnh hợp chập r của n trong sách giáo khoa Việt Nam. Hoán vị là trường hợp riêng khi lấy hết toàn bộ phần tử, nên muốn tính hoán vị bạn chỉ cần nhập r bằng n, khi đó kết quả sẽ chính là n giai thừa.
Nhập r lớn hơn n thì sao?
Công cụ trả về 0 mà không báo lỗi, theo đúng quy ước toán học vì không thể chọn nhiều phần tử hơn số phần tử đang có. Nếu bạn nhận kết quả 0 một cách bất ngờ, hãy kiểm tra lại xem có nhập ngược hai ô hay không, đây là lỗi thao tác rất hay gặp.
Vì sao kết quả tổ hợp lại có phần thập phân lẻ?
Vì công cụ tính giai thừa đầy đủ rồi mới chia, mà số nguyên chỉ được biểu diễn chính xác tới khoảng 18 giai thừa. Với n lớn hơn ngưỡng đó, các giá trị trung gian bị làm tròn nên phép chia để lại phần đuôi rất nhỏ. Đáp án đúng là số nguyên gần nhất, bạn cứ làm tròn.
Với n lớn thì kết quả có còn tin được không?
Từ khoảng n bằng 20 trở lên đã có sai số nhỏ ở những chữ số cuối, và từ n bằng 171 trở lên thì giai thừa vượt quá giới hạn biểu diễn nên kết quả hoàn toàn vô nghĩa. Với bài toán n lớn, hãy dùng phần mềm hỗ trợ số nguyên lớn hoặc rút gọn công thức bằng tay trước khi tính.
Chế độ nhân hai xác suất có phải xác suất có điều kiện không?
Không. Nó tính xác suất để cả hai biến cố cùng xảy ra khi hai biến cố độc lập, bằng cách nhân hai xác suất. Xác suất có điều kiện là bài toán khác, tính khả năng của biến cố này khi đã biết biến cố kia xảy ra, và công cụ không hỗ trợ. Công cụ cũng không tự kiểm tra hai biến cố của bạn có độc lập hay không.
Làm sao biết hai biến cố có độc lập hay không?
Hãy tự hỏi việc biết biến cố thứ nhất đã xảy ra có làm bạn thay đổi đánh giá về khả năng xảy ra của biến cố thứ hai không. Gieo hai xúc xắc thì không đổi nên độc lập. Rút hai lá bài mà không trả lại thì có đổi vì bộ bài đã ít đi một lá, nên không độc lập và không được nhân trực tiếp.
Xác suất trúng giải cao nhất của xổ số chọn 6 số trong 45 là bao nhiêu?
Số bộ kết quả có thể có là tổ hợp chọn 6 từ 45, bằng 8.145.060, nên một vé có xác suất trúng là một phần con số đó. Với loại chọn 6 số trong 55 thì số bộ là 28.989.675, xác suất giảm hơn ba lần. Mua thêm vé chỉ làm xác suất tăng tuyến tính theo số vé, không tạo ra thay đổi đáng kể.
Xác suất có thể lớn hơn 1 không?
Không. Xác suất luôn nằm trong khoảng từ 0 tới 1, tương ứng từ 0 tới 100 phần trăm. Nếu bạn nhận kết quả lớn hơn 1 ở chế độ xác suất đơn giản thì tức là số trường hợp thuận lợi đang lớn hơn tổng số trường hợp, nghĩa là bạn đã đếm sai mẫu số hoặc nhập ngược hai ô.
Vì sao trong nhóm 23 người lại có hơn 50 phần trăm khả năng trùng ngày sinh?
Vì bài toán so từng cặp chứ không so từng người với một ngày cố định. Nhóm 23 người có tổ hợp chọn 2 từ 23 tức 253 cặp, và mỗi cặp đều có cơ hội trùng. Cảm giác trực giác sai vì người ta thường nghĩ tới việc trùng với riêng mình, đó lại là bài toán khác và có xác suất thấp hơn nhiều.
Xúc xắc ra mặt sáu bốn lần liên tiếp thì lần sau có khó ra hơn không?
Không. Mỗi lần gieo độc lập hoàn toàn với các lần trước, xác suất vẫn đúng một phần sáu. Niềm tin ngược lại được gọi là ngộ nhận của người đánh bạc và là một trong những lỗi tư duy tốn kém nhất. Xúc xắc không có trí nhớ, chuỗi kết quả trước không tạo ra bất kỳ áp lực cân bằng nào cho lần tiếp theo.
Công cụ có tính được phân phối nhị thức hay xác suất chuẩn không?
Không. Công cụ chỉ có bốn phép tính là tổ hợp, chỉnh hợp, xác suất cổ điển và tích hai xác suất độc lập. Các bài toán về phân phối nhị thức, phân phối chuẩn, kỳ vọng hay phương sai cần công cụ thống kê chuyên dụng hoặc phần mềm bảng tính có sẵn các hàm tương ứng.
Từ khóa liên quan
- tính xác suất online
- tính tổ hợp chỉnh hợp
- công thức tổ hợp
- công thức chỉnh hợp
- hoán vị tổ hợp chỉnh hợp khác nhau
- máy tính giai thừa
- xác suất cổ điển
- xác suất biến cố độc lập
- xác suất có điều kiện
- bài toán đếm lớp 11
- tính số cách chọn
- xác suất xúc xắc
- xác suất trúng xổ số
- bài toán ngày sinh trùng nhau
- ngộ nhận người đánh bạc
- combination calculator
- permutation calculator
- tính xác suất phần trăm
- số cách sắp xếp phần tử
- công cụ toán học online
