Vẽ Đồ Thị Hàm Số Online

Tính năng nổi bật

• Vẽ tới 6 hàm cùng lúc trên một hệ trục, mỗi hàm một màu, bật tắt từng hàm
• Nhận đa thức, phân thức, căn, trị tuyệt đối, sin, cos, tan, cot, eˣ, aˣ, ln x, log x, logₐx
• Đánh dấu giao điểm với Ox, Oy, cực đại, cực tiểu, điểm uốn; tọa độ hiện dạng chính xác khi nhận ra (phân số, căn, π)
• Vẽ tiệm cận đứng, ngang, xiên bằng nét đứt; không nối đồ thị qua tiệm cận đứng hay điểm hàm không xác định
• Thanh trượt tham số m từ −10 tới 10 (hoặc nhập số), đồ thị và các điểm đặc biệt cập nhật ngay
• Kéo để dời, lăn chuột hoặc chụm hai ngón để phóng; nút Vừa đồ thị tự chọn khung nhìn
• Rê chuột trên đồ thị để đọc giá trị của từng hàm tại hoành độ đó
• Tải ảnh PNG có kèm chú thích tên hàm, dán thẳng vào bài làm hoặc giáo án

Khi nào nên dùng công cụ vẽ đồ thị

Vẽ đồ thị bằng tay mất thời gian và dễ sai hình dạng ở chỗ gần tiệm cận hay quanh điểm uốn. Khi học khảo sát hàm số, bạn có thể vẽ tay trước rồi nhập hàm vào đây để đối chiếu, xem đường cong đi qua đúng các điểm đặc biệt chưa. Khi làm bài toán có tham số m, như tìm m để phương trình x³ − 3x² + m = 0 có ba nghiệm, kéo thanh m và nhìn số giao điểm với trục hoành thay đổi, bạn sẽ hiểu vì sao điều kiện là yCĐ·yCT < 0 thay vì chỉ học thuộc. Khi cần so sánh hai hàm, như eˣ và ln x đối xứng qua đường y = x, nhập cả ba hàm và thấy ngay. Giáo viên cần hình minh họa có thể tải PNG kèm chú thích sẵn, không phải chụp màn hình rồi cắt.

Lợi ích khi sử dụng

• •Kiểm tra đồ thị vẽ tay nhanh và chính xác
• •Hiểu bài toán tham số m bằng cách nhìn đồ thị biến đổi
• •So sánh nhiều hàm trên cùng hệ trục, thấy giao điểm ngay
• •Có tọa độ điểm đặc biệt dạng chính xác để đối chiếu đáp án
• •Ảnh PNG sạch, có chú thích, dùng ngay cho bài giảng
• •Không cần cài phần mềm, chạy được trên điện thoại

Cách vẽ đồ thị hàm số bằng công cụ

1. 1Gõ hàm vào ô y1, ví dụ x^3 - 3x + 1. Muốn vẽ thêm, gõ vào ô y2 hoặc bấm Thêm hàm (tối đa 6 hàm).
2. 2Nếu hàm có chữ m, thanh trượt tham số m hiện ra. Kéo thanh hoặc nhập giá trị m để xem đồ thị thay đổi.
3. 3Chọn loại điểm muốn đánh dấu: giao với trục, cực trị, điểm uốn, tiệm cận.
4. 4Kéo đồ thị để dời, lăn chuột hoặc chụm hai ngón để phóng; bấm Vừa đồ thị để công cụ tự chọn khung phù hợp, Về gốc để quay lại khung mặc định.
5. 5Đọc bảng Điểm đặc biệt bên dưới: tọa độ giao điểm, cực trị, điểm uốn, phương trình tiệm cận của từng hàm trong khung đang xem.
6. 6Bấm Tải PNG để lưu hình, ảnh có sẵn chú thích tên các hàm ở góc trên.

Các bước vẽ đồ thị hàm số theo SGK

Theo SGK Toán 12, sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số gồm ba phần. Thứ nhất, tìm tập xác định. Thứ hai, khảo sát sự biến thiên: tính y′, tìm điểm y′ = 0 hoặc không xác định, xét dấu y′, tìm cực trị, giới hạn và tiệm cận, lập bảng biến thiên. Thứ ba, vẽ đồ thị: xác định các điểm đặc biệt (giao với Ox bằng cách giải f(x) = 0, giao với Oy là điểm (0; f(0)), điểm cực đại, cực tiểu), vẽ các tiệm cận nếu có, rồi nối các điểm theo đúng chiều tăng giảm trong bảng biến thiên. Nên lấy thêm vài điểm phụ hai bên để đường cong đúng độ cong. Đồ thị có tính đối xứng thì dùng nó để vẽ nhanh: hàm chẵn đối xứng qua trục Oy, hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ, đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng, đồ thị phân thức bậc nhất trên bậc nhất nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng. Công cụ đánh dấu sẵn các điểm đặc biệt để bạn so với bài vẽ tay.

Hình dạng đồ thị hàm bậc hai, bậc ba và trùng phương

Hàm bậc hai y = ax² + bx + c có đồ thị là parabol, đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a)), trục đối xứng x = −b/(2a), bề lõm quay lên khi a > 0, quay xuống khi a < 0. Ví dụ y = x² − 4x + 3 có đỉnh (2; −1), cắt Ox tại x = 1 và x = 3, cắt Oy tại (0; 3). Hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d có một trong bốn dạng tùy dấu của a và việc y′ = 0 có hai nghiệm hay không. Ví dụ y = x³ − 3x + 1: y′ = 3x² − 3 bằng 0 tại x = ±1, cực đại (−1; 3), cực tiểu (1; −1), điểm uốn (0; 1) cũng là tâm đối xứng; đồ thị cắt Ox ba lần. Hàm trùng phương y = ax⁴ + bx² + c luôn đối xứng qua Oy; khi a·b < 0 đồ thị có dạng chữ W (a > 0) hoặc chữ M (a < 0) với ba cực trị, khi a·b ≥ 0 chỉ có một cực trị tại x = 0. Ví dụ y = x⁴ − 2x² − 1 có cực tiểu tại x = ±1 (y = −2) và cực đại tại (0; −1).

Đồ thị phân thức và tiệm cận

Hàm y = (ax + b)/(cx + d) với c ≠ 0 và ad − bc ≠ 0 có đồ thị là hypebol gồm hai nhánh, tiệm cận đứng x = −d/c, tiệm cận ngang y = a/c, tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận. Ví dụ y = (2x + 1)/(x − 1): tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2, cắt Oy tại (0; −1), cắt Ox tại (−1/2; 0); y′ = −3/(x − 1)² < 0 nên mỗi nhánh đi xuống. Hàm bậc hai trên bậc nhất y = (ax² + bx + c)/(mx + n) có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên, tìm bằng chia đa thức. Ví dụ y = (x² + x + 1)/(x + 1) = x + 1/(x + 1): tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận xiên y = x, cực đại (−2; −3), cực tiểu (0; 1). Khi vẽ tay, vẽ tiệm cận trước bằng nét đứt, rồi cho mỗi nhánh đi sát dần vào tiệm cận. Công cụ không nối hai nhánh qua tiệm cận đứng, điều mà nhiều phần mềm vẽ điểm rời rạc hay làm sai, tạo một đường thẳng đứng giả.

Bài toán tham số m: đọc số nghiệm từ đồ thị

Số nghiệm của phương trình f(x) = k bằng số giao điểm của đồ thị y = f(x) với đường thẳng nằm ngang y = k. Đây là cách giải các bài tìm m quen thuộc. Ví dụ: tìm m để x³ − 3x² + m = 0 có ba nghiệm phân biệt. Viết lại thành −x³ + 3x² = m, hoặc nhập trực tiếp y = x³ − 3x² + m vào công cụ rồi kéo thanh m và đếm số lần đồ thị cắt trục hoành. Lời giải: y′ = 3x² − 6x có nghiệm 0 và 2, yCĐ = y(0) = m, yCT = y(2) = m − 4. Phương trình có ba nghiệm khi đồ thị cắt Ox ba lần, tức yCĐ và yCT trái dấu: m(m − 4) < 0, nghĩa là 0 < m < 4. Kéo m tới 0 hoặc 4 bạn sẽ thấy đồ thị tiếp xúc với Ox tại một điểm cực trị (nghiệm kép), ra ngoài khoảng đó chỉ còn một giao điểm. Cách nhìn này áp dụng được cho mọi bài biện luận số nghiệm theo m.

Các phép biến đổi đồ thị

Từ đồ thị y = f(x) có thể suy ra nhiều đồ thị khác mà không cần khảo sát lại. y = f(x) + k là tịnh tiến lên trên k đơn vị (xuống nếu k < 0). y = f(x − h) là tịnh tiến sang phải h đơn vị. y = −f(x) là đối xứng qua trục Ox, y = f(−x) là đối xứng qua trục Oy. y = |f(x)|: giữ phần đồ thị nằm trên Ox, lấy đối xứng phần nằm dưới Ox lên trên. y = f(|x|): giữ phần đồ thị bên phải Oy, bỏ phần bên trái, rồi lấy đối xứng phần bên phải qua Oy. Thử trên công cụ: nhập y1 = x^3 - 3x, y2 = abs(x^3 - 3x), y3 = abs(x)^3 - 3abs(x) và bật tắt từng hàm để so sánh. Hai hàm ngược nhau như y = eˣ và y = ln x có đồ thị đối xứng nhau qua đường y = x; nhập cả ba để thấy. Hàm lượng giác: y = sin x và y = cos x tuần hoàn chu kỳ 2π, y = tan x chu kỳ π với tiệm cận đứng x = π/2 + kπ.

Cách gõ hàm và những điểm cần biết

Nhân viết dấu * hoặc viết liền: 2x, 3(x + 1), x sin x. Lũy thừa dùng ^, số mũ âm hay phân số đặt trong ngoặc: x^(-1), x^(2/3). Căn bậc hai sqrt(x), căn bậc ba cbrt(x), căn bậc n root(x; n). Trị tuyệt đối |x| hoặc abs(x). Hàm mũ e^x, 2^x; logarit ln(x), log(x) là cơ số 10, log_2(x) là cơ số 2. Số π gõ pi. Chữ m là tham số, các chữ khác ngoài x báo lỗi. Theo SGK, lũy thừa với số mũ không nguyên như x^(1/3) chỉ xác định khi x > 0, nên công cụ chỉ vẽ nửa phải; muốn vẽ căn bậc ba trên cả trục số, dùng cbrt(x). Đồ thị được vẽ bằng cách tính hàm tại khoảng hai điểm cho mỗi điểm ảnh ngang; khi hai điểm liền nhau chênh lệch lớn, công cụ chia đôi để xem đó là đoạn dốc liên tục hay chỗ gián đoạn, rồi chỉ nối khi liên tục. Hàm dao động quá nhanh như sin(1/x) gần x = 0 vẫn có thể bị vẽ thiếu chi tiết; phóng to để xem rõ hơn.

Điểm đặc biệt được tính thế nào

Giao điểm với Ox là nghiệm của f(x) = 0 trong khung đang xem, tìm bằng cách chia khoảng thành 1.500 đoạn nhỏ, tìm đoạn đổi dấu rồi chia đôi tới độ chính xác máy; nghiệm kép (đồ thị tiếp xúc trục) được bắt riêng qua cực tiểu của |f|. Cực đại, cực tiểu là điểm mà y′ đổi dấu khi đi qua: nghiệm của y′ = 0, hoặc điểm hàm liên tục nhưng y′ không xác định như x = ±√3 của y = |x² − 3|; đạo hàm được tính bằng ký hiệu chứ không xấp xỉ. Điểm uốn là nghiệm của y″ mà tại đó y″ đổi dấu. Tiệm cận đứng là điểm hàm không xác định có giới hạn một phía bằng vô cực; tiệm cận ngang và xiên tính bằng giới hạn tại vô cực, chính xác cho phân thức hữu tỉ. Điểm bị khuyết như x = 1 của y = (x² − 1)/(x − 1) được vẽ bằng vòng tròn rỗng. Vì các điểm chỉ được tìm trong khung đang xem, khi dời hoặc phóng khung, bảng điểm đặc biệt cập nhật theo. Tọa độ hiện dạng chính xác khi trùng với phân số mẫu nhỏ, căn bậc hai hay bội của π, còn lại làm tròn ba chữ số thập phân.

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

Từ khóa liên quan

• vẽ đồ thị hàm số
• vẽ đồ thị hàm số online
• vẽ đồ thị
• vẽ đồ thị online
• phần mềm vẽ đồ thị
• vẽ đồ thị hàm số bậc 3
• vẽ đồ thị hàm số bậc 2
• vẽ parabol
• vẽ đồ thị hàm số bậc 4
• vẽ đồ thị hàm phân thức
• vẽ đồ thị hàm số có tham số m
• vẽ đồ thị hàm số lượng giác
• đồ thị hàm số mũ
• đồ thị hàm số logarit
• tìm giao điểm của đồ thị
• tiệm cận của đồ thị hàm số
• điểm uốn của đồ thị
• biện luận số nghiệm theo m
• graph online
• vẽ đồ thị trị tuyệt đối