Tính tích phân: công thức, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay và ví dụ
Công cụ tính tích phân online này cho giá trị số của tích phân xác định, diện tích hình phẳng giữa hai đường và thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox, kèm sai số ước lượng và hình vẽ phần được tính. Công cụ chỉ ra giá trị số, không tìm nguyên hàm dạng công thức, nên phù hợp để kiểm tra đáp số và làm bài trắc nghiệm. Ngay dưới đây là các công thức trong SGK Toán 12 và ví dụ có lời giải bằng nguyên hàm để bạn đối chiếu.
Tính năng nổi bật
- Tích phân xác định ∫ từ a đến b của f(x) dx, cận là số, phân số, pi, e, căn hoặc vô cực (inf, -inf)
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x) (hoặc trục Ox), tự tìm giao điểm làm cận khi để trống
- Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox, V = π∫f²(x) dx, có chế độ hai đường
- Phương pháp Gauss–Kronrod 7–15 điểm thích nghi: tự chia nhỏ đoạn tới khi sai số đủ bé, in sai số ước lượng
- Xử lý tích phân suy rộng: cận vô cực, hàm tiến ra vô cực tại cận, điểm kỳ dị nằm giữa đoạn; báo phân kỳ khi tích phân không hội tụ
- Tô phần diện tích trên đồ thị: phần mang dấu dương và dấu âm khác màu, tải ảnh PNG
- Nhận diện gần đúng giá trị đẹp như 1/3, π/4, 32/3, 8π để bạn so với đáp án
- Chạy trên trình duyệt, dùng được trên điện thoại
Khi nào nên dùng công cụ tính tích phân
Bạn đã tính tích phân bằng nguyên hàm và muốn kiểm tra đáp số: nhập hàm và hai cận, nếu giá trị số khớp với kết quả của bạn tới nhiều chữ số thì gần như chắc chắn bài đúng. Bạn làm câu trắc nghiệm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị mà không muốn tự giải phương trình hoành độ giao điểm: để trống hai cận, công cụ tự tìm giao điểm và tính diện tích, có hình tô để bạn thấy đúng vùng. Bạn gặp tích phân mà nguyên hàm không viết được bằng hàm sơ cấp, như ∫e^(−x²) dx hay ∫sin(x)/x dx: phương pháp số vẫn cho giá trị chính xác tới khoảng 10 chữ số. Bạn cần biết một tích phân suy rộng hội tụ hay phân kỳ: công cụ kiểm tra bằng dãy cắt cụt; khi dãy không hội tụ, trang báo phân kỳ hoặc hội tụ quá chậm để tính bằng số. Điều công cụ không làm là trình bày nguyên hàm; phần đó vẫn là việc của bạn trong bài tự luận.
Lợi ích khi sử dụng
- Kiểm tra đáp số tích phân trong vài giây, chính xác tới khoảng 10 chữ số
- Không phải tự giải phương trình hoành độ giao điểm khi tính diện tích
- Nhìn thấy vùng được tính, tránh nhầm cận hoặc nhầm đường trên đường dưới
- Biết ngay tích phân suy rộng hội tụ hay phân kỳ
- Tính được cả tích phân không có nguyên hàm sơ cấp
- Miễn phí, không cài đặt, không cần tài khoản
Cách tính tích phân bằng công cụ
- 1Chọn chế độ ở hàng nút trên cùng: Tích phân xác định, Diện tích hình phẳng hoặc Thể tích khối tròn xoay.
- 2Nhập hàm f(x). Ở hai chế độ sau có thêm ô g(x); để trống g(x) nghĩa là đường thứ hai là trục hoành y = 0.
- 3Nhập cận dưới a và cận trên b. Chấp nhận số, phân số 1/2, pi, pi/2, e, sqrt(2); vô cực gõ inf hoặc -inf.
- 4Với diện tích và thể tích, có thể để trống cả hai cận: công cụ lấy giao điểm ngoài cùng của hai đường làm cận.
- 5Đọc kết quả: giá trị số, sai số ước lượng, giá trị đẹp nhận diện được (nếu có) và các ghi chú như tích phân suy rộng, phân kỳ.
- 6Xem hình tô phía dưới để kiểm tra đúng vùng cần tính, bấm Tải PNG nếu muốn lưu hình.
Công thức tích phân cần nhớ (SGK Toán 12)
Định nghĩa theo công thức Newton–Leibniz: nếu F là một nguyên hàm của f trên đoạn [a; b] thì ∫ từ a đến b của f(x) dx = F(b) − F(a). Các tính chất: ∫ từ a đến a bằng 0; đổi chỗ hai cận thì tích phân đổi dấu; ∫k·f = k·∫f; ∫(f ± g) = ∫f ± ∫g; tách đoạn ∫ từ a đến b = ∫ từ a đến c + ∫ từ c đến b. Một số nguyên hàm cơ bản dùng để tính: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C với n ≠ −1; ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫1/cos²x dx = tan x + C. Ứng dụng hình học: diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là S = ∫ từ a đến b của |f(x) − g(x)| dx; nếu đường thứ hai là trục hoành thì S = ∫|f(x)| dx. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b quanh trục Ox là V = π·∫ từ a đến b của f²(x) dx. Các nội dung này thuộc chương Nguyên hàm và tích phân của SGK Toán 12 theo chương trình giáo dục phổ thông 2018.
Ví dụ 1: tích phân xác định bằng nguyên hàm
Tính I = ∫ từ 0 đến 1 của x² dx. Nguyên hàm của x² là x³/3, nên I = 1³/3 − 0³/3 = 1/3 ≈ 0,3333. Tính J = ∫ từ 0 đến π của sin x dx. Nguyên hàm của sin x là −cos x, nên J = −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2. Tính K = ∫ từ 1 đến e của (1/x) dx = ln e − ln 1 = 1. Tính L = ∫ từ −1 đến 2 của (x³ − 3x) dx = [x⁴/4 − 3x²/2] từ −1 đến 2 = (4 − 6) − (1/4 − 3/2) = −2 + 5/4 = −3/4. Nhập từng bài vào công cụ: kết quả số trùng với các giá trị trên tới 10 chữ số, kèm dòng nhận diện 1/3, 2, 1, −3/4. Lưu ý L âm vì phần lớn đồ thị nằm dưới trục hoành trên đoạn đang xét: tích phân là diện tích có dấu, phần dưới Ox mang dấu trừ. Trên hình của công cụ, phần mang dấu dương tô xanh, phần mang dấu âm tô đỏ.
Ví dụ 2: diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x và y = x². Bước 1, giải phương trình hoành độ giao điểm x = x², được x = 0 và x = 1. Bước 2, trên (0; 1) có x > x² nên S = ∫ từ 0 đến 1 của (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3] từ 0 đến 1 = 1/2 − 1/3 = 1/6 ≈ 0,1667. Ví dụ khác: hình phẳng giới hạn bởi y = x² − 4 và trục hoành. Giao điểm với Ox là x = −2 và x = 2, trên đoạn này x² − 4 ≤ 0 nên S = ∫ từ −2 đến 2 của (4 − x²) dx = [4x − x³/3] từ −2 đến 2 = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10,667. Khi hàm đổi dấu trong đoạn, phải tách tích phân tại các nghiệm rồi cộng giá trị tuyệt đối. Ví dụ y = x³ − x trên [−1; 1]: phần trên [−1; 0] có diện tích 1/4, phần trên [0; 1] cũng 1/4, tổng S = 1/2, trong khi ∫ từ −1 đến 1 của (x³ − x) dx lại bằng 0. Đây là lỗi hay gặp nhất khi tính diện tích. Công cụ tự tách tại giao điểm nên luôn ra diện tích không âm.
Ví dụ 3: thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox
Quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox, x = 0, x = 4 quanh trục Ox. V = π·∫ từ 0 đến 4 của (√x)² dx = π·∫ từ 0 đến 4 của x dx = π·[x²/2] từ 0 đến 4 = 8π ≈ 25,133. Thể tích khối cầu bán kính R: quay nửa hình tròn y = √(R² − x²) với x từ −R đến R, V = π·∫(R² − x²) dx = π·[R²x − x³/3] từ −R đến R = 4πR³/3; với R = 2 được 32π/3 ≈ 33,51. Khi hình phẳng nằm giữa hai đường y = f(x) và y = g(x) cùng phía với trục Ox, khối tròn xoay có lỗ rỗng và V = π·∫|f²(x) − g²(x)| dx. Ví dụ hình giữa y = x và y = x² trên [0; 1]: V = π·∫(x² − x⁴) dx = π(1/3 − 1/5) = 2π/15 ≈ 0,4189. Chú ý công thức hiệu bình phương chỉ đúng khi cả hình phẳng nằm về một phía của Ox; nếu hình cắt qua trục hoành, phải tách và xét phần nằm xa trục hơn ở từng đoạn.
Công cụ tính bằng cách nào: Simpson và Gauss–Kronrod
Máy không tìm nguyên hàm mà xấp xỉ diện tích dưới đường cong bằng tổng có trọng số của giá trị hàm tại một số điểm. Cách quen thuộc trong sách là công thức Simpson: chia [a; b] thành n đoạn bằng nhau (n chẵn) bước h, rồi lấy h/3 nhân với (f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fₙ₋₁ + fₙ); sai số giảm theo h⁴. Công cụ này dùng cách mạnh hơn là Gauss–Kronrod 7–15: trên mỗi đoạn, tính hàm tại 15 điểm đặt ở vị trí tối ưu, đồng thời lấy 7 trong số đó làm công thức Gauss riêng. Hiệu giữa hai kết quả cho biết sai số. Đoạn nào sai số lớn được chia đôi và tính lại, lặp tới khi tổng sai số dưới khoảng 10⁻¹¹ lần độ lớn kết quả. Cách thích nghi này dồn điểm tính vào chỗ hàm thay đổi nhanh, nên vừa nhanh vừa chính xác. Với hàm trơn như x², sin x, eˣ, kết quả thường đúng tới 12 chữ số trở lên. Dòng Sai số ước lượng trên trang chính là con số này.
Tích phân suy rộng: khi nào hội tụ, khi nào phân kỳ
Tích phân có cận vô cực, hoặc hàm tiến ra vô cực tại một điểm trong đoạn, gọi là tích phân suy rộng. Nó hội tụ khi giới hạn của tích phân trên đoạn cắt cụt tồn tại hữu hạn. Hai kết quả cơ bản: ∫ từ 1 đến +∞ của 1/xᵖ dx hội tụ khi p > 1 (bằng 1/(p − 1)) và phân kỳ khi p ≤ 1; ∫ từ 0 đến 1 của 1/xᵖ dx hội tụ khi p < 1 (bằng 1/(1 − p)) và phân kỳ khi p ≥ 1. Vì vậy ∫ từ 1 đến ∞ của 1/x² = 1, ∫ từ 0 đến 1 của 1/√x = 2, còn ∫ từ 1 đến ∞ của 1/x và ∫ từ 0 đến 1 của 1/x đều phân kỳ. Công cụ đổi biến để đưa cận vô cực về đoạn hữu hạn, tách đoạn tại điểm mẫu bằng 0 hay log của 0, rồi kiểm tra hội tụ bằng dãy tích phân trên các đoạn cắt cụt tiến dần tới điểm kỳ dị. Nếu phần tăng thêm không co lại, công cụ báo phân kỳ. Giới hạn của cách làm số: tích phân hội tụ rất chậm, như 1/x^1,01 trên [1; ∞), hoặc hội tụ nhờ dao động triệt tiêu, như sin(x)/x trên [0; +∞) (bằng π/2), có thể bị báo là phân kỳ; vì vậy dòng kết luận luôn ghi phân kỳ hoặc hội tụ quá chậm để tính bằng số.
Vì sao công cụ không đưa ra nguyên hàm
Tìm nguyên hàm dạng công thức là bài toán khó hơn đạo hàm rất nhiều: không có quy tắc máy móc nào áp dụng được cho mọi hàm, và nhiều hàm đơn giản như e^(−x²), sin(x)/x, √(1 + x³) không có nguyên hàm viết được bằng các hàm sơ cấp. Các chương trình làm được việc này là hệ đại số máy tính rất lớn. Công cụ này được giữ gọn để chạy nhanh ngay trên trình duyệt điện thoại, nên chọn làm tốt một việc: cho giá trị số đáng tin của tích phân xác định. Với bài tự luận, bạn vẫn phải tự tìm nguyên hàm theo các phương pháp trong SGK (dùng bảng nguyên hàm, đổi biến, từng phần) rồi dùng công cụ để kiểm tra đáp số cuối. Dòng nhận diện giá trị đẹp như 1/3 hay π/4 chỉ là so khớp số học để gợi ý dạng đáp án, không phải lời giải; khi giá trị không trùng dạng đẹp nào, công cụ chỉ in số thập phân.
Lỗi thường gặp khi tính tích phân và diện tích
Quên trị tuyệt đối khi tính diện tích, dẫn tới phần dưới trục hoành bị trừ đi. Nhầm cận khi đề cho hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị mà không cho x = a, x = b: cận chính là hoành độ giao điểm, phải giải phương trình f(x) = g(x) trước. Viết thể tích là π∫f(x) dx, thiếu bình phương. Với khối tạo bởi hai đường, viết π∫(f − g)² thay vì π∫|f² − g²|. Tính ∫ từ −1 đến 1 của 1/x² bằng công thức nguyên hàm −1/x rồi ra −2, trong khi tích phân này phân kỳ vì hàm không xác định tại x = 0 nằm giữa đoạn. Công cụ bắt được lỗi cuối: nó tìm điểm kỳ dị trong đoạn và báo phân kỳ. Nếu đề có hàm không xác định trên một phần đoạn, như √x trên [−1; 1], công cụ báo hàm không xác định trong đoạn lấy tích phân thay vì cho một con số sai.
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Công cụ có tìm nguyên hàm không?
Không. Công cụ chỉ tính giá trị số của tích phân xác định bằng phương pháp Gauss–Kronrod thích nghi. Dòng nhận diện giá trị đẹp như 1/3 hay π/4 là so khớp số học để gợi ý, không phải nguyên hàm.
Kết quả chính xác tới mức nào?
Với hàm trơn trên đoạn hữu hạn, sai số thường dưới 10⁻¹⁰. Trang in sai số ước lượng cho từng bài. Tích phân suy rộng hội tụ chậm có sai số lớn hơn và có ghi chú riêng.
Nhập cận vô cực thế nào?
Gõ inf cho +∞ và -inf cho −∞. Ví dụ ∫ từ 0 đến inf của e^(-x) cho kết quả 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị không cho cận thì làm sao?
Chọn chế độ Diện tích hình phẳng, nhập hai hàm và để trống cả hai cận. Công cụ giải phương trình hoành độ giao điểm bằng số, lấy giao điểm nhỏ nhất và lớn nhất làm cận, tự tách tại các giao điểm ở giữa.
Công thức diện tích hình phẳng là gì?
S = ∫ từ a đến b của |f(x) − g(x)| dx. Nếu đường thứ hai là trục hoành thì S = ∫ từ a đến b của |f(x)| dx. Phải có trị tuyệt đối để phần dưới trục không bị trừ đi.
Công thức thể tích khối tròn xoay quanh Ox là gì?
V = π·∫ từ a đến b của f²(x) dx khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a, x = b. Giữa hai đường cùng phía với Ox thì V = π·∫|f²(x) − g²(x)| dx.
Vì sao tích phân ra số âm?
Tích phân là diện tích có dấu: phần đồ thị nằm dưới trục hoành đóng góp giá trị âm. Muốn diện tích thật, dùng chế độ Diện tích hình phẳng, công cụ lấy trị tuyệt đối và tách tại các nghiệm.
Công cụ báo tích phân phân kỳ nghĩa là gì?
Tích phân suy rộng không có giá trị hữu hạn, ví dụ ∫ từ 1 đến ∞ của 1/x hay ∫ từ −1 đến 1 của 1/x². Không được dùng công thức Newton–Leibniz cho các tích phân này.
Gauss–Kronrod khác công thức Simpson thế nào?
Simpson dùng các điểm cách đều với trọng số 1, 4, 2, 4, …; Gauss–Kronrod dùng 15 điểm đặt ở vị trí tối ưu trên mỗi đoạn và tự ước lượng sai số nhờ một công thức Gauss 7 điểm lồng bên trong. Cùng số lần tính hàm, Gauss–Kronrod chính xác hơn nhiều.
Hàm không xác định trên một phần đoạn thì sao?
Công cụ báo hàm không xác định tại một điểm trong đoạn và dừng, ví dụ √x trên [−1; 1] hay ln x trên [−1; 2]. Hãy kiểm tra lại tập xác định và cận của đề.
Có tính được tích phân có tham số m không?
Không trực tiếp. Hãy thay m bằng một số cụ thể. Muốn khảo sát theo m, thử vài giá trị m khác nhau và so kết quả.
Tính được tích phân lượng giác như ∫ sin²x không?
Được, gõ sin(x)^2 hoặc sin^2 x. Ví dụ ∫ từ 0 đến π của sin²x dx = π/2 ≈ 1,5708, công cụ nhận diện được dạng π/2.
Vì sao kết quả có dòng giá trị trùng với một phân số hay bội của π?
Khi giá trị số trùng với một dạng đẹp tới khoảng 9 chữ số và sai số đủ nhỏ, công cụ in dạng đó để bạn dễ so với đáp án trắc nghiệm. Đây là gợi ý, không phải chứng minh.
Nhập cận là pi/2 hoặc căn 2 được không?
Được. Cận nhận số, phân số, pi, pi/2, 2pi, e, sqrt(2), log(2; 8)… miễn là không chứa x.
Công cụ có hiện hình phần diện tích không?
Có. Phần được tính được tô màu trên đồ thị. Ở chế độ tích phân, phần mang dấu dương tô xanh, phần mang dấu âm tô đỏ. Ở chế độ thể tích có thêm nét đứt đối xứng qua Ox để hình dung khối.
Dữ liệu có được gửi đi đâu không?
Không. Mọi phép tính chạy trên trình duyệt của bạn; công cụ chỉ lưu hàm và cận vừa nhập trong bộ nhớ trình duyệt để lần sau khỏi gõ lại.
Từ khóa liên quan
- tính tích phân
- tính tích phân online
- máy tính tích phân
- tích phân xác định
- công thức tích phân
- tính diện tích hình phẳng
- diện tích hình phẳng giới hạn bởi
- tính diện tích giữa hai đường cong
- tính thể tích khối tròn xoay
- công thức tính thể tích khối tròn xoay
- thể tích vật thể tròn xoay
- ứng dụng tích phân
- tích phân lớp 12
- tích phân suy rộng
- tích phân suy rộng hội tụ
- công thức simpson
- gauss kronrod
- integral calculator
- tích phân từ 0 đến 1
- newton leibniz