Tính Đạo Hàm Online Có Lời Giải

Tính năng nổi bật

• Đạo hàm ký hiệu của đa thức, phân thức, căn bậc hai và căn bậc n, sin, cos, tan, cot, eˣ, aˣ, ln x, log x, logₐx, trị tuyệt đối
• Hiện từng bước: quy tắc tổng hiệu, hằng số nhân, tích, thương, đạo hàm hàm hợp, mỗi bước ghi rõ u, v là gì
• Rút gọn kết quả cho dễ đọc: gộp hằng số, gộp hạng tử đồng dạng, khai triển tử số khi gọn hơn, viết phân số và căn dạng đẹp
• Đạo hàm cấp hai y″ tính tự động
• Giá trị f(x₀), f′(x₀), f″(x₀) dạng chính xác khi được (phân số, căn, π) kèm số thập phân
• Phương trình tiếp tuyến y = kx + b tại điểm có hoành độ x₀, báo rõ khi đạo hàm không tồn tại tại x₀
• Đồ thị hàm số và tiếp tuyến, kéo và phóng được trên điện thoại
• Chép kết quả dạng gõ được để dán vào công cụ khác hoặc máy tính

Khi nào nên dùng công cụ tính đạo hàm

Bạn vừa làm xong một bài đạo hàm dài kiểu y = (x² + 1)/(x − 2) hay y = x²·eˣ và muốn biết mình đúng chưa: nhập hàm, so kết quả, rồi xem từng bước để tìm chỗ sai, thường là quên đạo hàm của hàm bên trong khi dùng quy tắc hàm hợp hoặc nhầm dấu trừ trong quy tắc thương. Bạn cần viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm: công cụ tính f(x₀), f′(x₀) và ghép thành y = kx + b, có đồ thị để nhìn tiếp tuyến chạm đường cong đúng chỗ. Bạn đang lập bảng biến thiên và cần y′ gọn để xét dấu: phần tử số đã được khai triển và gộp, như (2x + 3)/(x − 1) cho ngay y′ = −5/(x − 1)². Công cụ không thay việc học công thức, nhưng giúp bạn kiểm tra nhanh và hiểu vì sao kết quả như vậy.

Lợi ích khi sử dụng

• •Kiểm tra bài đạo hàm trong vài giây, thấy được bước nào làm khác
• •Hiểu cách áp dụng quy tắc hàm hợp qua ví dụ của chính bạn
• •Có ngay phương trình tiếp tuyến, không phải tính ba đại lượng rời rạc
• •Kết quả rút gọn đủ để dùng tiếp cho bảng biến thiên
• •Chạy hoàn toàn trên trình duyệt, không cần tài khoản
• •Dùng tốt trên điện thoại với hàng nút chèn ký hiệu

Cách tính đạo hàm bằng công cụ

1. 1Gõ hàm số vào ô y = f(x). Nhân viết dấu * hoặc viết liền như 2x, 3(x + 1); lũy thừa dùng ^; căn bậc hai sqrt(x); trị tuyệt đối |x|; số π gõ pi. Trên điện thoại bấm hàng nút chèn nhanh bên dưới ô nhập.
2. 2Xem dòng xem trước dưới hàng nút chèn để chắc công cụ hiểu đúng biểu thức. Nếu gõ sai cú pháp, dòng chữ đỏ thay cho dòng xem trước và cho biết lỗi, ví dụ ký tự hay tên hàm không hiểu.
3. 3Đọc kết quả y′ ở khung Kết quả, ngay dưới là y″. Bấm Chép dạng gõ nếu muốn dán y′ vào công cụ khác.
4. 4Muốn tính tại một điểm, nhập x₀ (số nguyên, phân số 1/2, pi/4, sqrt(2) đều được). Công cụ ra f(x₀), f′(x₀), f″(x₀) và phương trình tiếp tuyến.
5. 5Kéo xuống phần Các bước tính y′ để xem quy tắc áp dụng cho từng phần của biểu thức, dòng thụt vào là bước con.
6. 6Xem đồ thị ở cuối trang: đường xanh là y = f(x), đường đỏ là tiếp tuyến tại x₀. Kéo để dời, chụm hai ngón hoặc lăn chuột để phóng.

Bảng công thức đạo hàm cơ bản (SGK Toán 11)

Đạo hàm của các hàm sơ cấp thường gặp, với u = u(x) là hàm có đạo hàm. Hằng số: (c)′ = 0. Lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ và (uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′; ví dụ (x⁵)′ = 5x⁴, ((2x + 1)³)′ = 3(2x + 1)²·2 = 6(2x + 1)². Nghịch đảo: (1/x)′ = −1/x² và (1/u)′ = −u′/u². Căn bậc hai: (√x)′ = 1/(2√x) với x > 0 và (√u)′ = u′/(2√u). Lượng giác: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tan x)′ = 1/cos²x, (cot x)′ = −1/sin²x; với hàm hợp nhân thêm u′, ví dụ (sin 3x)′ = 3cos 3x, (cos(x²))′ = −2x·sin(x²). Hàm mũ: (eˣ)′ = eˣ, (eᵘ)′ = u′·eᵘ, (aˣ)′ = aˣ·ln a, (aᵘ)′ = u′·aᵘ·ln a. Logarit: (ln x)′ = 1/x với x > 0, (ln u)′ = u′/u, (logₐx)′ = 1/(x·ln a), (logₐu)′ = u′/(u·ln a). Hai công thức hay quên: (ln|x|)′ = 1/x với mọi x ≠ 0, và đạo hàm của |x| là x/|x|, chỉ tồn tại khi x ≠ 0. Các công thức này nằm trong chương Đạo hàm của SGK Toán 11 theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 (phần hàm mũ, logarit và lượng giác) và được dùng xuyên suốt lớp 12.

Quy tắc tính đạo hàm: tổng, tích, thương, hàm hợp

Với u, v là các hàm có đạo hàm và k là hằng số: (u ± v)′ = u′ ± v′; (k·u)′ = k·u′; (u·v)′ = u′·v + u·v′; (u/v)′ = (u′·v − u·v′)/v² với v ≠ 0. Riêng trường hợp tử là hằng số, (k/v)′ = −k·v′/v², nhanh hơn dùng quy tắc thương đầy đủ. Quy tắc hàm hợp: nếu y = f(u) và u = u(x) thì y′ = f′(u)·u′. Cách nhận ra hàm hợp: có một biểu thức nằm trong hàm khác, như trong căn, trong sin, trên số mũ của e. Lúc đó lấy đạo hàm của hàm ngoài như thể biểu thức bên trong là một biến, rồi nhân với đạo hàm của biểu thức bên trong. Ví dụ y = √(x² + 3x): hàm ngoài là căn, u = x² + 3x, u′ = 2x + 3, nên y′ = (2x + 3)/(2√(x² + 3x)). Lỗi thường gặp nhất là quên nhân u′, viết (sin 2x)′ = cos 2x thay vì 2cos 2x. Lỗi thứ hai là quy tắc thương bị đảo thứ tự ở tử, viết u·v′ − u′·v làm sai dấu cả kết quả. Mẹo nhớ: trong quy tắc thương, đạo hàm của tử đứng trước.

Ví dụ 1: đạo hàm của phân thức y = (2x + 3)/(x − 1)

Đặt u = 2x + 3, v = x − 1, có u′ = 2 và v′ = 1. Theo quy tắc thương: y′ = (u′v − uv′)/v² = [2(x − 1) − (2x + 3)·1]/(x − 1)² = (2x − 2 − 2x − 3)/(x − 1)² = −5/(x − 1)². Kết quả âm với mọi x ≠ 1, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Với hàm phân thức bậc nhất dạng y = (ax + b)/(cx + d) có công thức nhanh y′ = (ad − bc)/(cx + d)²; ở đây a = 2, b = 3, c = 1, d = −1 nên ad − bc = −2 − 3 = −5, khớp với cách làm đầy đủ. Nhập (2x+3)/(x-1) vào công cụ, phần Các bước sẽ hiện đúng quy tắc thương với u = 2x + 3, v = x − 1, rồi đạo hàm của tử và mẫu ở hai bước con.

Ví dụ 2: hàm hợp và quy tắc tích y = x²·e⁻ˣ

Đây là tích của u = x² và v = e⁻ˣ. u′ = 2x. Với v, hàm ngoài là e mũ, bên trong là −x, nên v′ = (−x)′·e⁻ˣ = −e⁻ˣ. Theo quy tắc tích: y′ = u′v + uv′ = 2x·e⁻ˣ + x²·(−e⁻ˣ) = (2x − x²)·e⁻ˣ = x(2 − x)e⁻ˣ. Vì e⁻ˣ luôn dương, dấu của y′ là dấu của x(2 − x): âm khi x < 0, dương khi 0 < x < 2, âm khi x > 2. Hàm đạt cực tiểu tại x = 0 với y = 0 và cực đại tại x = 2 với y = 4/e² ≈ 0,5413. Công cụ in kết quả dạng 2xe^(−x) − x²e^(−x), tức chưa đặt nhân tử chung; khi làm bài bạn nên tự đặt e⁻ˣ ra ngoài để xét dấu dễ hơn.

Ví dụ 3: phương trình tiếp tuyến tại x₀

Công thức: tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại điểm M(x₀; f(x₀)) là y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀), trong đó f′(x₀) là hệ số góc. Cho y = x³ − 3x² + 2 tại x₀ = 1. Tính f(1) = 1 − 3 + 2 = 0. Đạo hàm f′(x) = 3x² − 6x nên f′(1) = 3 − 6 = −3. Tiếp tuyến: y = −3(x − 1) + 0 = −3x + 3. Bài ngược thường gặp: viết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước, khi đó giải phương trình f′(x₀) = k để tìm x₀ trước. Ví dụ tiếp tuyến của y = x³ − 3x² + 2 song song với đường y = 9x: giải 3x₀² − 6x₀ = 9, được x₀ = −1 hoặc x₀ = 3, thay vào công thức ra hai tiếp tuyến y = 9x + 7 và y = 9x − 25. Trong công cụ, nhập lần lượt x₀ = −1 và x₀ = 3 để kiểm tra từng đường. Lưu ý tiếp tuyến không tồn tại ở điểm hàm không có đạo hàm, như y = |x| tại x = 0, công cụ sẽ báo lý do thay vì in một đường sai.

Đạo hàm cấp hai và ý nghĩa

Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm: y″ = (y′)′. Với y = x³ − 3x² + 2, y′ = 3x² − 6x và y″ = 6x − 6. Trong vật lí, nếu s(t) là quãng đường theo thời gian thì s′(t) là vận tốc tức thời và s″(t) là gia tốc tức thời; ví dụ s(t) = 5t² (m) thì vận tốc v = 10t (m/s), gia tốc a = 10 m/s². Trong khảo sát hàm số, dấu của y″ cho biết đồ thị lồi hay lõm, và điểm y″ đổi dấu là điểm uốn: với hàm bậc ba ở trên, y″ = 0 tại x = 1, đó là điểm uốn và cũng là tâm đối xứng của đồ thị. Y″ còn dùng để xét cực trị nhanh: nếu f′(x₀) = 0 và f″(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu, f″(x₀) < 0 thì là điểm cực đại. Ở ví dụ trên f″(0) = −6 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại, f″(2) = 6 > 0 nên x = 2 là điểm cực tiểu.

Công cụ rút gọn kết quả thế nào, và vì sao đôi khi khác sách

Đạo hàm ký hiệu luôn đúng về giá trị, nhưng cùng một biểu thức có nhiều cách viết. Công cụ gộp hằng số, bỏ các phần dư như nhân 1, cộng 0, mũ 1, gộp các hạng tử đồng dạng (x + x thành 2x), gộp lũy thừa cùng cơ số (x·x² thành x³), tách căn của số (√8 thành 2√2) và khai triển phần tử số là đa thức khi bản khai triển không dài hơn. Nhờ vậy bài phân thức ra dạng (x² − 2x)/(x − 1)² giống SGK. Tuy nhiên công cụ không tự đặt nhân tử chung và không biến đổi lượng giác, nên (sin x·cos x)′ ra cos²x − sin²x chứ không viết thành cos 2x, và (x²eˣ)′ ra 2xeˣ + x²eˣ chứ không phải (x² + 2x)eˣ. Hai dạng bằng nhau. Kết quả của bộ đạo hàm đã được đối chiếu với đạo hàm tính bằng sai phân số học tại nhiều điểm trên nhiều biểu thức khác nhau.

Cách gõ biểu thức cho đúng

Phép nhân có thể viết liền: 2x, 3(x + 1), x sin x đều được hiểu là phép nhân. Lũy thừa dùng dấu ^, số mũ âm hoặc phân số cần ngoặc: x^(-2), x^(1/3). Căn bậc hai sqrt(x) hoặc ký hiệu √, căn bậc ba cbrt(x), căn bậc n root(x; n). Hàm lượng giác sin, cos, tan (hoặc tg), cot (hoặc cotg); viết sin^2 x nghĩa là (sin x)². Đối số không có ngoặc được đọc tới hết cụm nhân liền: sin 2x là sin(2x), nhưng sin x + 1 là sin(x) + 1. Logarit tự nhiên ln, log x là logarit cơ số 10 theo quy ước SGK Việt Nam, logarit cơ số a viết log_2(x) hoặc log(2; x) (cơ số đứng trước, giống máy Casio). Hàm mũ e^x hoặc exp(x). Chữ m được hiểu là tham số và coi như hằng số khi lấy đạo hàm theo x. Số thập phân dùng dấu chấm hoặc dấu phẩy, ví dụ 1,5x. Một điểm khác SGK cần biết: x^(1/3) được hiểu là lũy thừa với số mũ hữu tỉ nên công cụ không tính với x âm (tại x = −8 báo không xác định); muốn căn bậc ba xác định cả với x âm thì gõ cbrt(x), khi đó tại x = −8 ra f = −2, f′ = 1/12.

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

Từ khóa liên quan

• tính đạo hàm
• tính đạo hàm online
• máy tính đạo hàm
• đạo hàm có lời giải
• công thức đạo hàm
• bảng công thức đạo hàm
• bảng đạo hàm
• đạo hàm lớp 11
• quy tắc tính đạo hàm
• đạo hàm của thương
• đạo hàm hàm hợp
• đạo hàm căn x
• đạo hàm của tan x
• đạo hàm e mũ u
• đạo hàm ln u
• đạo hàm cấp 2
• phương trình tiếp tuyến
• viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
• tính đạo hàm tại 1 điểm
• đạo hàm trị tuyệt đối
• derivative calculator