Cách viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy: công thức, ví dụ và lời giải
Muốn viết phương trình đường thẳng, chỉ cần một điểm M(x₀; y₀) và một vectơ: có vectơ pháp tuyến n = (a; b) thì phương trình tổng quát là a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0; có vectơ chỉ phương u = (u₁; u₂) thì phương trình tham số là x = x₀ + u₁t, y = y₀ + u₂t. Mọi dạng bài khác như qua hai điểm, có hệ số góc, song song hay vuông góc với đường cho trước đều quy về việc tìm điểm và vectơ đó. Công cụ phía trên làm hết các bước theo cách trình bày của sách Toán 10, ra phương trình tổng quát, tham số, chính tắc với hệ số nguyên tối giản, tính khoảng cách, góc, giao điểm và vẽ hình trên hệ trục Oxy.
Tính năng nổi bật
- Bảy dạng bài: qua 2 điểm, qua điểm và có vectơ chỉ phương, qua điểm và có vectơ pháp tuyến, qua điểm và có hệ số góc, song song với đường cho trước, vuông góc với đường cho trước, cắt hai trục (đoạn chắn)
- Ra cùng lúc phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (khi viết được) và dạng y = kx + m (khi có hệ số góc)
- Tính bằng phân số chính xác: hệ số luôn là số nguyên, chia hết cho ước chung lớn nhất, hệ số của x dương; nhập được số thập phân và phân số như −3/4
- Lời giải từng bước theo cách trình bày sách Toán 10: tìm vectơ, chuyển vectơ chỉ phương sang pháp tuyến, khai triển phương trình
- Xét thêm đường thẳng thứ hai: vị trí tương đối (cắt, vuông góc, song song, trùng), tọa độ giao điểm dạng phân số, góc giữa hai đường thẳng kèm côsin dạng căn
- Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng giữ dạng căn rút gọn như 3√5/5, kèm số thập phân và tọa độ hình chiếu vuông góc
- Vẽ đường thẳng, điểm, giao điểm, đường vuông góc trên lưới tọa độ SVG tự co giãn theo dữ liệu
- Lưu dữ liệu trên máy, dùng tốt trên điện thoại
Công thức phương trình đường thẳng cần nhớ
Phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0), có vectơ pháp tuyến n = (a; b). Đường thẳng đi qua M(x₀; y₀) có vectơ pháp tuyến n = (a; b): a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0. Phương trình tham số của đường thẳng qua M(x₀; y₀) có vectơ chỉ phương u = (u₁; u₂): x = x₀ + u₁t, y = y₀ + u₂t với t là tham số thực. Phương trình chính tắc (khi u₁ ≠ 0 và u₂ ≠ 0): (x − x₀)/u₁ = (y − y₀)/u₂. Liên hệ giữa hai vectơ: nếu u = (u₁; u₂) là vectơ chỉ phương thì n = (u₂; −u₁) hoặc n = (−u₂; u₁) là vectơ pháp tuyến, vì tích vô hướng u·n = 0. Đường thẳng qua M có hệ số góc k: y − y₀ = k(x − x₀), vectơ chỉ phương (1; k). Đường thẳng cắt Ox tại (a; 0), cắt Oy tại (0; b) với a, b khác 0: x/a + y/b = 1 (phương trình đoạn chắn). Khoảng cách từ M(x₀; y₀) tới Δ: ax + by + c = 0 là d = |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²). Góc φ giữa hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến n₁ = (a₁; b₁), n₂ = (a₂; b₂): cos φ = |a₁a₂ + b₁b₂| ÷ (√(a₁² + b₁²) · √(a₂² + b₂²)), với 0° ≤ φ ≤ 90°.
Lợi ích khi sử dụng
- Hệ số đẹp, rút gọn sẵn, đúng dạng đáp án thường gặp
- Kết quả chính xác dạng phân số và căn, không bị sai do làm tròn
- Lời giải trình bày theo các bước như trong sách để tự học
- Hình vẽ giúp kiểm tra nhanh bằng mắt
- Gộp nhiều dạng bài vào một chỗ: viết phương trình, khoảng cách, góc, giao điểm
- Miễn phí, không cần đăng ký, chạy trên điện thoại
Cách dùng công cụ viết phương trình đường thẳng
- 1Chọn dạng bài ở hàng nút trên cùng, ví dụ Qua 2 điểm.
- 2Nhập tọa độ và vectơ. Có thể gõ số nguyên, số thập phân (0,5) hoặc phân số (−3/4). Với dạng song song hoặc vuông góc, nhập hệ số a, b, c của đường thẳng d: ax + by + c = 0.
- 3Đọc phương trình tổng quát, tham số, chính tắc ở khung kết quả, xem hình vẽ để chắc đường thẳng đi đúng qua các điểm.
- 4Muốn xét vị trí tương đối, giao điểm và góc, đánh dấu ô Xét thêm đường thẳng d' và nhập hệ số của nó.
- 5Muốn tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng vừa viết, đánh dấu ô khoảng cách và nhập tọa độ điểm N.
- 6Kéo xuống phần Lời giải từng bước để đối chiếu với bài làm.
Ví dụ 1: viết phương trình đường thẳng qua hai điểm
Đề: Viết phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng đi qua A(1; 2) và B(3; −4). Giải: Ta có vectơ AB = (3 − 1; −4 − 2) = (2; −6). Đường thẳng AB nhận vectơ u = (1; −3), cùng phương với AB, làm vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến là n = (3; 1). Phương trình tổng quát: 3(x − 1) + 1(y − 2) = 0, hay 3x + y − 5 = 0. Phương trình tham số: x = 1 + t, y = 2 − 3t (t ∈ ℝ). Phương trình chính tắc: (x − 1)/1 = (y − 2)/(−3). Kiểm tra: thay B(3; −4) vào phương trình tổng quát được 9 − 4 − 5 = 0, đúng. Việc chia AB cho 2 để được u = (1; −3) không bắt buộc nhưng làm hệ số gọn hơn; dùng (2; −6) vẫn ra cùng một đường thẳng. Đây là bộ số mặc định khi bạn mở công cụ.
Ví dụ 2: song song và vuông góc với đường cho trước
Đề: Cho điểm M(1; −2) và đường thẳng d: 3x − 4y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ₁ qua M song song với d và Δ₂ qua M vuông góc với d. Giải: Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = (3; −4) và vectơ chỉ phương u = (4; 3). Δ₁ song song với d nên nhận n = (3; −4) làm vectơ pháp tuyến: 3(x − 1) − 4(y + 2) = 0, hay 3x − 4y − 11 = 0. Cách nhanh: Δ₁ có dạng 3x − 4y + c = 0 với c ≠ 5, thay M vào được 3 + 8 + c = 0, c = −11. Δ₂ vuông góc với d nên vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của Δ₂: 4(x − 1) + 3(y + 2) = 0, hay 4x + 3y + 2 = 0. Giao điểm của Δ₂ và d là chân đường vuông góc hạ từ M xuống d, tọa độ H(−23/25; 14/25). Khoảng cách từ M tới d bằng |3·1 − 4·(−2) + 5| ÷ √(9 + 16) = 16/5, đúng bằng độ dài MH.
Ví dụ 3: hệ số góc và phương trình đoạn chắn
Đề: Viết phương trình đường thẳng qua M(1; 2) có hệ số góc k = 1/2. Giải: y − 2 = (1/2)(x − 1), tức y = (1/2)x + 3/2. Nhân hai vế với 2 và chuyển vế: x − 2y + 3 = 0. Vectơ chỉ phương (1; 1/2), cùng phương với (2; 1); vectơ pháp tuyến (1; −2). Nhớ rằng đường thẳng có hệ số góc k thì không song song với Oy; ngược lại đường thẳng x = 3 song song với Oy không có hệ số góc. Đề: Viết phương trình đường thẳng cắt Ox tại A(4; 0) và Oy tại B(0; −3). Giải: Phương trình đoạn chắn x/4 + y/(−3) = 1. Nhân hai vế với 12: 3x − 4y = 12, hay 3x − 4y − 12 = 0. Dạng đoạn chắn không dùng được cho đường thẳng đi qua gốc tọa độ, vì khi đó một trong hai giao điểm trùng O.
Ví dụ 4: vị trí tương đối, giao điểm, góc giữa hai đường thẳng
Xét Δ: 3x + y − 5 = 0 và d': x − y + 1 = 0. Cách 1 theo vectơ pháp tuyến: n = (3; 1) và n' = (1; −1) không cùng phương vì 3·(−1) − 1·1 = −4 ≠ 0, nên hai đường thẳng cắt nhau. Cách 2 giải hệ: cộng hai phương trình được 4x − 4 = 0, x = 1, thay vào được y = 2, giao điểm I(1; 2). Góc giữa hai đường: cos φ = |3·1 + 1·(−1)| ÷ (√10 · √2) = 2 ÷ √20 = √5/5, nên φ ≈ 63,43°. Nếu hai vectơ pháp tuyến cùng phương thì xét thêm hệ số tự do: 3x + y − 5 = 0 và 6x + 2y + 1 = 0 song song, vì tỉ số các hệ số của x và y là 3/6 và 1/2, đều bằng 1/2, nhưng tỉ số hệ số tự do là −5/1 ≠ 1/2; còn 3x + y − 5 = 0 và −6x − 2y + 10 = 0 trùng nhau. Hai đường vuông góc khi a₁a₂ + b₁b₂ = 0, ví dụ 3x + y − 5 = 0 và x − 3y = 0.
Ví dụ 5: khoảng cách từ điểm tới đường thẳng
Tính khoảng cách từ gốc O(0; 0) tới Δ: 3x + y − 5 = 0. Ta có d(O, Δ) = |3·0 + 1·0 − 5| ÷ √(3² + 1²) = 5/√10. Trục căn ở mẫu: 5/√10 = 5√10/10 = √10/2 ≈ 1,5811. Hình chiếu vuông góc của O lên Δ là H(3/2; 1/2); có thể kiểm tra OH = √(9/4 + 1/4) = √10/2. Một ví dụ khác: khoảng cách từ N(1; 1) tới x + 2y = 0 là |1 + 2| ÷ √5 = 3/√5 = 3√5/5. Khi khoảng cách bằng 0, điểm nằm trên đường thẳng. Công thức khoảng cách còn dùng để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: lấy một điểm bất kỳ trên đường này rồi tính khoảng cách tới đường kia.
Vì sao đáp án của bạn có thể khác mà vẫn đúng
Một đường thẳng có vô số phương trình tổng quát: 3x + y − 5 = 0, 6x + 2y − 10 = 0 và −3x − y + 5 = 0 là cùng một đường. Quy ước thường dùng là rút gọn hệ số về số nguyên nguyên tố cùng nhau và để hệ số của x dương; công cụ làm theo quy ước này. Phương trình tham số còn nhiều dạng hơn nữa, vì có thể chọn bất kỳ điểm nào trên đường thẳng và bất kỳ vectơ chỉ phương nào cùng phương: x = 1 + t, y = 2 − 3t và x = 3 − 2s, y = −4 + 6s đều là đường AB ở ví dụ 1. Để kiểm tra đáp án của mình, thay điểm trong phương trình tham số của bạn vào phương trình tổng quát của công cụ (phải ra 0) và kiểm tra vectơ chỉ phương của bạn có tỉ lệ với vectơ ở đây không.
Khi nào không viết được phương trình chính tắc
Phương trình chính tắc (x − x₀)/u₁ = (y − y₀)/u₂ cần chia cho cả hai thành phần của vectơ chỉ phương, nên chỉ viết được khi u₁ và u₂ đều khác 0. Đường thẳng song song với trục Ox (ví dụ y = 3, vectơ chỉ phương (1; 0)) hoặc song song với trục Oy (ví dụ x = −2, vectơ chỉ phương (0; 1)) không có phương trình chính tắc. Sách Toán 10 hiện hành chủ yếu dùng hai dạng tổng quát và tham số; dạng chính tắc vẫn hay xuất hiện trong tài liệu ôn tập và bạn sẽ gặp lại khi học đường thẳng trong không gian. Tương tự, đường thẳng song song với Oy không có hệ số góc nên không viết được dạng y = kx + m.
Lỗi thường gặp khi viết phương trình đường thẳng
Nhầm vectơ chỉ phương với vectơ pháp tuyến: thay thẳng tọa độ của AB vào a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0 sẽ ra đường thẳng vuông góc với AB chứ không phải AB. Sai dấu khi khai triển: −4(y + 2) = −4y − 8, không phải −4y + 8. Quên rằng điểm có tọa độ âm làm đổi dấu trong ngoặc: điểm M(−1; 3) cho (x + 1), không phải (x − 1). Dùng nhầm vectơ khi viết đường vuông góc: đường vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến, không nhận vectơ pháp tuyến của d. Quên trị tuyệt đối trong công thức khoảng cách và côsin góc giữa hai đường thẳng, dẫn tới khoảng cách âm hoặc góc tù; góc giữa hai đường thẳng luôn từ 0° đến 90°. Không kiểm tra lại: thay tọa độ các điểm đã cho vào phương trình vừa viết là cách nhanh nhất để bắt lỗi.
Nguồn kiến thức
Các khái niệm vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát, phương trình tham số, vị trí tương đối, góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng thuộc phần Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng của sách Toán 10 chương trình giáo dục phổ thông 2018. Phương trình chính tắc và phương trình đoạn chắn ít được nhấn mạnh trong sách mới nhưng vẫn thường gặp trong tài liệu ôn tập và sách của chương trình trước. Cách trình bày lời giải trong công cụ bám theo các bước của sách; mỗi lớp, mỗi giáo viên có thể yêu cầu cách trình bày hơi khác, hãy theo yêu cầu của lớp bạn.
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Phương trình tổng quát của đường thẳng là gì?
Là phương trình dạng ax + by + c = 0 với a, b không đồng thời bằng 0. Vectơ n = (a; b) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm thế nào?
Tính vectơ AB làm vectơ chỉ phương, đổi sang vectơ pháp tuyến n = (u₂; −u₁), rồi viết a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0 với điểm A. Ví dụ A(1; 2), B(3; −4) cho 3x + y − 5 = 0.
Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến khác nhau thế nào?
Vectơ chỉ phương nằm dọc theo đường thẳng (song song với nó), vectơ pháp tuyến vuông góc với đường thẳng. Nếu u = (u₁; u₂) thì n = (u₂; −u₁) hoặc (−u₂; u₁).
Phương trình tham số của đường thẳng viết thế nào?
Cần một điểm M(x₀; y₀) và một vectơ chỉ phương u = (u₁; u₂): x = x₀ + u₁t, y = y₀ + u₂t, t ∈ ℝ.
Phương trình chính tắc là gì, khi nào không có?
Là (x − x₀)/u₁ = (y − y₀)/u₂. Không viết được khi u₁ = 0 hoặc u₂ = 0, tức đường thẳng song song với một trục tọa độ.
Đổi từ phương trình tham số sang tổng quát thế nào?
Đọc điểm M(x₀; y₀) và vectơ chỉ phương u từ phương trình tham số, đổi u sang vectơ pháp tuyến rồi viết phương trình tổng quát. Hoặc rút t từ một phương trình thay vào phương trình kia.
Đổi từ phương trình tổng quát sang tham số thế nào?
Từ ax + by + c = 0, lấy vectơ chỉ phương u = (b; −a) và tìm một điểm thuộc đường thẳng (cho x = 0 rồi tính y, hoặc ngược lại), rồi viết x = x₀ + bt, y = y₀ − at.
Viết phương trình đường thẳng song song với đường cho trước?
Giữ nguyên a, b của đường cho trước, đổi c: ax + by + c' = 0, thay tọa độ điểm đã cho để tìm c'. Nếu điểm nằm trên đường cho trước thì hai đường trùng nhau.
Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường cho trước?
Đường thẳng d: ax + by + c = 0 có vectơ chỉ phương (b; −a). Đường vuông góc với d nhận (b; −a) làm vectơ pháp tuyến: b(x − x₀) − a(y − y₀) = 0.
Công thức khoảng cách từ điểm tới đường thẳng?
d = |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²). Khoảng cách từ M(1; −2) tới 3x − 4y + 5 = 0 bằng 16/5.
Tính góc giữa hai đường thẳng thế nào?
cos φ = |a₁a₂ + b₁b₂| ÷ (√(a₁² + b₁²) · √(a₂² + b₂²)), rồi tra φ. Góc giữa hai đường thẳng luôn từ 0° đến 90°, vì vậy có dấu trị tuyệt đối.
Làm sao biết hai đường thẳng song song, trùng hay cắt nhau?
Tính a₁b₂ − a₂b₁. Khác 0 thì cắt nhau (và vuông góc khi a₁a₂ + b₁b₂ = 0). Bằng 0 thì xét tiếp: nếu ba hệ số tỉ lệ thì trùng nhau, nếu không thì song song.
Tìm giao điểm của hai đường thẳng thế nào?
Giải hệ hai phương trình. Công cụ dùng quy tắc Cramer với phân số chính xác nên giao điểm có thể ra dạng như (−23/25; 14/25).
Hệ số góc của đường thẳng là gì?
Là k trong y = kx + m. Từ ax + by + c = 0 với b ≠ 0, k = −a/b. Đường thẳng song song với Oy (b = 0) không có hệ số góc.
Nhập phân số hoặc số thập phân được không?
Được. Gõ 0,5 hoặc 0.5 hoặc 1/2 đều hiểu là một phần hai. Công cụ đổi hết về phân số và nhân với mẫu chung để hệ số cuối cùng là số nguyên.
Vì sao phương trình của tôi khác kết quả công cụ?
Có thể cả hai đều đúng: nhân hai vế với cùng một số khác 0 không đổi đường thẳng. Kiểm tra hai bộ hệ số có tỉ lệ không. Phương trình tham số còn phụ thuộc điểm và vectơ chọn.
Công cụ có viết được phương trình đường tròn hay đường thẳng trong không gian không?
Chưa. Công cụ này chỉ làm đường thẳng trong mặt phẳng Oxy theo chương trình Toán 10.
Từ khóa liên quan
- viết phương trình đường thẳng
- phương trình đường thẳng
- phương trình tổng quát của đường thẳng
- phương trình tham số của đường thẳng
- phương trình chính tắc của đường thẳng
- viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- vectơ chỉ phương
- vectơ pháp tuyến
- phương trình đường thẳng song song
- phương trình đường thẳng vuông góc
- khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
- góc giữa hai đường thẳng
- giao điểm hai đường thẳng
- vị trí tương đối của hai đường thẳng
- hệ số góc của đường thẳng
- phương trình đoạn chắn
- phương trình đường thẳng lớp 10
- tọa độ oxy lớp 10
- hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng
- giải toán hình học tọa độ online
- đổi phương trình tham số sang tổng quát
- viết phương trình đường thẳng online