Bảng biến thiên: cách lập từng bước, ví dụ SGK và bảng xét dấu
Công cụ lập bảng biến thiên online này tự tìm tập xác định, đạo hàm y′, nghiệm của y′, giới hạn tại hai đầu và tại điểm gián đoạn, tiệm cận, rồi vẽ bảng biến thiên có mũi tên đúng kiểu SGK Toán 12, tải được ảnh PNG để chèn vào bài. Chế độ bảng xét dấu lập bảng cho tích và thương các nhị thức, tam thức bậc hai theo kiểu SGK Toán 10. Phần dưới trình bày quy trình khảo sát và các ví dụ giải tay cho từng dạng hàm hay gặp.
Tính năng nổi bật
- Bảng biến thiên ba hàng x, y′, y với mũi tên lên xuống, giá trị cực trị và giới hạn đặt đúng vị trí trên dưới như SGK
- Tự tìm tập xác định (mẫu khác 0, biểu thức trong căn không âm, biểu thức trong logarit dương) và vẽ phần gạch chéo nếu tập xác định bị đứt
- Nghiệm của y′ ra dạng chính xác khi được: số nguyên, phân số, căn bậc hai như √2 hay −1 − √2; giá trị cực trị cũng chính xác (59/27, 2√2, 1/e)
- Điểm gián đoạn vẽ hai gạch dọc kèm giới hạn trái, phải; điểm y′ không xác định (như |x| tại 0) vẽ hai gạch ở hàng y′
- Tiệm cận đứng, ngang, xiên; với phân thức hữu tỉ tính chính xác bằng chia đa thức
- Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm cực đại, cực tiểu; nút chép kết luận dạng chữ
- Bảng xét dấu cho tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, đánh dấu 0 và gạch kép ở nghiệm của mẫu
- Tải bảng thành ảnh PNG nền trắng, nét sắc để dán vào Word hoặc bài giảng
Khi nào nên dùng công cụ lập bảng biến thiên
Bảng biến thiên là bước bắt buộc trong mọi bài khảo sát hàm số lớp 12, và cũng là nơi dễ sai nhất: xét dấu y′ nhầm một khoảng là cả chiều mũi tên lẫn kết luận cực trị đều sai theo. Bạn làm xong bài và muốn kiểm tra: nhập hàm, so từng ô trong bảng với bảng của bạn. Bạn là giáo viên cần chèn bảng biến thiên vào đề kiểm tra hay slide: bấm Tải PNG là có ảnh sạch, khỏi vẽ bảng bằng công cụ vẽ của Word. Bạn đang học bất phương trình lớp 10 và cần bảng xét dấu cho biểu thức kiểu (x − 1)(x² − 4)/(x + 3): chế độ bảng xét dấu lập đủ một hàng cho mỗi thừa số rồi hàng tích cuối cùng, kèm kết luận f(x) dương, âm trên những khoảng nào. Công cụ không thay được việc tự lập bảng khi thi, nhưng giúp bạn nhận ra chỗ hay sai và luyện nhanh hơn.
Lợi ích khi sử dụng
- Thấy ngay chỗ sai khi so bảng của mình với bảng của công cụ
- Giá trị cực trị và nghiệm hiện dạng chính xác, khỏi đổi từ số thập phân
- Có ảnh bảng biến thiên đẹp để chèn vào đề, giáo án, bài làm
- Học quy trình khảo sát qua phần các bước đi kèm mỗi bảng
- Dùng được cả cho bảng xét dấu lớp 10
- Miễn phí, chạy trên trình duyệt, dùng được trên điện thoại
Cách lập bảng biến thiên bằng công cụ
- 1Chọn chế độ Bảng biến thiên hoặc Bảng xét dấu ở hàng nút phía trên.
- 2Gõ hàm số, ví dụ x^3 - 3x^2 + 2 hoặc (2x + 1)/(x - 1). Dòng xem trước dưới ô nhập cho biết công cụ hiểu biểu thức thế nào.
- 3Nếu đề yêu cầu xét trên một đoạn, nhập đầu đoạn và cuối đoạn (ví dụ 0 và 2pi). Để trống nghĩa là xét trên toàn tập xác định.
- 4Đọc bảng biến thiên và phần Các bước khảo sát: tập xác định, y′, nghiệm, giới hạn, tiệm cận, chiều biến thiên, cực trị.
- 5Bấm Chép kết luận để lấy phần kết luận dạng chữ, hoặc Tải PNG để lưu bảng thành ảnh.
- 6Với bảng xét dấu, nhập biểu thức dạng tích, thương như (x - 1)(x + 2)/(x - 3); công cụ lập một hàng cho mỗi thừa số và hàng dấu của cả biểu thức.
Các bước lập bảng biến thiên (SGK Toán 12)
Quy trình khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) gồm: Bước 1, tìm tập xác định D. Bước 2, tính đạo hàm y′, tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không xác định. Bước 3, tính các giới hạn tại vô cực, giới hạn tại các điểm hàm số không xác định, từ đó tìm tiệm cận nếu có. Bước 4, lập bảng biến thiên: hàng x ghi các điểm tìm được theo thứ tự tăng dần cùng hai đầu của tập xác định; hàng y′ ghi dấu của y′ trên từng khoảng, số 0 tại điểm y′ = 0; hàng y vẽ mũi tên đi lên trên khoảng y′ > 0, đi xuống trên khoảng y′ < 0, ghi giá trị của hàm tại đầu và cuối mỗi mũi tên. Bước 5, kết luận: hàm đồng biến trên các khoảng y′ > 0, nghịch biến trên các khoảng y′ < 0; nếu y′ đổi dấu từ dương sang âm khi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại, từ âm sang dương thì là điểm cực tiểu. Quy trình này nằm trong chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, SGK Toán 12 theo chương trình giáo dục phổ thông 2018.
Ví dụ 1: hàm bậc ba y = x³ − 3x² + 2
Tập xác định D = ℝ. Đạo hàm y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2), y′ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2. Tính y(0) = 2 và y(2) = 8 − 12 + 2 = −2. Giới hạn: khi x → −∞ thì y → −∞, khi x → +∞ thì y → +∞ (hệ số của x³ dương). Xét dấu y′: tam thức 3x² − 6x có hệ số a = 3 > 0 nên dương ngoài khoảng hai nghiệm, âm trong khoảng. Bảng biến thiên: hàng x gồm −∞, 0, 2, +∞; hàng y′ là +, 0, −, 0, +; hàng y đi từ −∞ lên 2, xuống −2, rồi lên +∞. Kết luận: hàm đồng biến trên (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2); đạt cực đại tại x = 0 với yCĐ = 2, cực tiểu tại x = 2 với yCT = −2. Hàm bậc ba có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt, không có cực trị khi y′ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, như y = x³ + 3x có y′ = 3x² + 3 > 0 với mọi x, đồng biến trên ℝ.
Ví dụ 2: phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = (2x + 1)/(x − 1)
Tập xác định D = ℝ \ {1}. Đạo hàm y′ = [2(x − 1) − (2x + 1)]/(x − 1)² = −3/(x − 1)², luôn âm trên D, nên y′ không có nghiệm. Giới hạn: khi x → ±∞ thì y → 2, nên y = 2 là tiệm cận ngang; khi x → 1⁻ thì tử dần về 3 > 0 còn mẫu dần về 0 với giá trị âm, nên y → −∞; khi x → 1⁺ thì y → +∞, nên x = 1 là tiệm cận đứng. Bảng biến thiên có cột x = 1 vẽ hai gạch dọc: bên trái mũi tên đi xuống từ 2 tới −∞, bên phải đi xuống từ +∞ tới 2. Kết luận: hàm nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞), không có cực trị. Chú ý không được viết nghịch biến trên (−∞; 1) ∪ (1; +∞) hay trên ℝ \ {1}, vì lấy x₁ = 0 và x₂ = 2 thì y(0) = −1 < y(2) = 5 dù x₁ < x₂.
Ví dụ 3: phân thức bậc hai trên bậc nhất và tiệm cận xiên
Xét y = (x² + x + 1)/(x + 1). Tập xác định D = ℝ \ {−1}. Theo quy tắc thương, y′ = [(2x + 1)(x + 1) − (x² + x + 1)]/(x + 1)² = (x² + 2x)/(x + 1)², y′ = 0 khi x = −2 hoặc x = 0. Tính y(−2) = (4 − 2 + 1)/(−1) = −3 và y(0) = 1. Chia đa thức được y = x + 1/(x + 1), nên khi x → ±∞ hiệu y − x dần về 0: đường y = x là tiệm cận xiên. Tại x = −1 có giới hạn trái −∞, phải +∞ nên x = −1 là tiệm cận đứng. Bảng biến thiên: x gồm −∞, −2, −1, 0, +∞; y′ là +, 0, −, ‖, −, 0, +; y đi từ −∞ lên −3, xuống −∞, gạch kép, từ +∞ xuống 1, rồi lên +∞. Kết luận: cực đại tại x = −2, yCĐ = −3; cực tiểu tại x = 0, yCT = 1. Giá trị cực đại nhỏ hơn giá trị cực tiểu ở đây là bình thường, vì hai điểm nằm trên hai nhánh khác nhau của đồ thị. Cách tìm tiệm cận xiên tổng quát: a = lim f(x)/x, b = lim [f(x) − ax] khi x → +∞ (hoặc −∞), với a ≠ 0.
Ví dụ 4: hàm trùng phương y = x⁴ − 2x² + 3
Hàm dạng y = ax⁴ + bx² + c gặp nhiều trong tài liệu ôn thi. Tập xác định ℝ. y′ = 4x³ − 4x = 4x(x² − 1), y′ = 0 khi x = −1, x = 0, x = 1. Giá trị: y(−1) = y(1) = 2, y(0) = 3. Khi x → ±∞ thì y → +∞. Dấu y′ đổi lần lượt −, +, −, + trên bốn khoảng. Bảng biến thiên có hình chữ W: từ +∞ xuống 2, lên 3, xuống 2, lên +∞. Kết luận: nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1), đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞); hai điểm cực tiểu (±1; 2) và một điểm cực đại (0; 3). Quy tắc nhanh: hàm trùng phương có ba cực trị khi a và b trái dấu (a·b < 0), chỉ có một cực trị khi a·b ≥ 0. Nghiệm của y′ khác 0 có thể là căn: y = x⁴ − 4x² + 1 có y′ = 4x(x² − 2), nghiệm ±√2, công cụ ghi đúng √2 và giá trị cực tiểu −3.
Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
Nhị thức f(x) = ax + b (a ≠ 0) có nghiệm x = −b/a; f(x) cùng dấu với a khi x > −b/a và trái dấu với a khi x < −b/a, gọi tắt là phải cùng trái trái. Tam thức f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với Δ = b² − 4ac: nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x; nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ −b/(2a); nếu Δ > 0, gọi x₁ < x₂ là hai nghiệm, thì f(x) cùng dấu a khi x < x₁ hoặc x > x₂, trái dấu a khi x₁ < x < x₂, gọi tắt là trong trái ngoài cùng. Định lí về dấu tam thức bậc hai học trong SGK Toán 10. Với tích, thương nhiều thừa số, lập bảng có một hàng cho mỗi thừa số, hàng cuối là dấu của tích, nhân dấu theo cột. Ví dụ f(x) = (x − 1)(x² − 4)/(x + 3): các mốc là −3, −2, 1, 2. Kết quả f(x) > 0 khi x ∈ (−∞; −3) ∪ (−2; 1) ∪ (2; +∞), f(x) < 0 khi x ∈ (−3; −2) ∪ (1; 2), f(x) = 0 tại x = −2, 1, 2 và không xác định tại x = −3 (gạch kép). Thừa số mũ chẵn như (x − 1)² không đổi dấu khi qua nghiệm.
Công cụ xử lý những trường hợp đặc biệt thế nào
Hàm có căn như y = x + √(4 − x²) có tập xác định là đoạn [−2; 2]; bảng bắt đầu tại −2 và kết thúc tại 2 bằng giá trị của hàm, không có vô cực, cực đại tại x = √2 với y = 2√2. Hàm như y = √(x² − 1) có tập xác định bị đứt (−∞; −1] ∪ [1; +∞); khoảng ở giữa được gạch chéo trong bảng. Hàm có điểm y′ không xác định nhưng hàm vẫn xác định, như y = |x| hay y = ∛x tại x = 0, được ghi hai gạch ở hàng y′ chứ không phải số 0. Tương tự với y = |x² − 3|: hai điểm gãy x = ±√3 ghi hai gạch, còn x = 0 là nghiệm của y′ với cực đại bằng 3. Phân thức rút gọn được như y = (x² − 1)/(x − 1) có một điểm bị khuyết tại x = 1 với giới hạn hai bên đều bằng 2, bảng vẫn vẽ hai gạch ở cột đó. Hàm lượng giác tuần hoàn có vô số điểm tới hạn, nên công cụ lập bảng trên đoạn [0; 2π] nếu bạn không nhập đoạn khác. Với hàm mũ và logarit như y = ln x / x, nghiệm y′ = 0 là x = e và giá trị cực đại 1/e được nhận ra dạng chính xác.
Độ chính xác và giới hạn của công cụ
Với đa thức và phân thức hữu tỉ, toàn bộ phép tính là chính xác: nghiệm của y′ tìm bằng định lí nghiệm hữu tỉ rồi công thức nghiệm bậc hai, giá trị cực trị tính trong tập số dạng a + b√r, giới hạn và tiệm cận tính bằng bậc và hệ số cao nhất. Đã kiểm tra trên các dạng bậc ba, trùng phương, bậc nhất trên bậc nhất, bậc hai trên bậc nhất trong SGK, so với lời giải tay. Với hàm có căn, mũ, logarit, lượng giác, nghiệm của y′ và giới hạn được tính bằng số (chia lưới, chia đôi, dãy giá trị tiến tới điểm cần xét), sau đó công cụ thử nhận ra dạng đẹp như phân số, căn bậc hai, bội của π, lũy thừa của e. Khi không nhận ra, số được làm tròn bốn chữ số thập phân. Đa thức bậc từ năm trở lên không có nghiệm hữu tỉ sẽ cho nghiệm thập phân. Hãy coi bảng của công cụ là bản để đối chiếu, và trình bày lập luận đầy đủ khi làm bài tự luận.
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Bảng biến thiên gồm những hàng nào?
Ba hàng: hàng x ghi các điểm tới hạn và hai đầu tập xác định theo thứ tự tăng dần; hàng y′ ghi dấu của đạo hàm và số 0 tại nghiệm; hàng y vẽ mũi tên lên, xuống kèm giá trị của hàm hoặc giới hạn tại các đầu mũi tên.
Cách xác định mũi tên đi lên hay đi xuống?
Trên khoảng y′ > 0 hàm đồng biến, mũi tên đi lên; trên khoảng y′ < 0 hàm nghịch biến, mũi tên đi xuống. Giá trị ở đỉnh mũi tên lên đặt ở trên, ở cuối mũi tên xuống đặt ở dưới.
Hai gạch dọc trong bảng biến thiên nghĩa là gì?
Hai gạch kéo dài qua hàng y′ và hàng y nghĩa là hàm không xác định tại điểm đó, thường là tiệm cận đứng; hai bên ghi giới hạn trái, phải. Hai gạch chỉ ở hàng y′ nghĩa là hàm xác định nhưng không có đạo hàm tại điểm đó, như |x| tại 0.
Làm sao tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Đường x = x₀ là tiệm cận đứng nếu ít nhất một giới hạn một phía của f tại x₀ bằng ±∞. Đường y = y₀ là tiệm cận ngang nếu f(x) dần về y₀ khi x → +∞ hoặc x → −∞. Với y = (ax + b)/(cx + d), tiệm cận đứng x = −d/c và tiệm cận ngang y = a/c.
Tiệm cận xiên tìm thế nào?
Đường y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên khi f(x) − (ax + b) dần về 0 lúc x → ±∞. Tính a = lim f(x)/x và b = lim [f(x) − ax]. Với phân thức bậc hai trên bậc nhất, chia đa thức lấy phần thương là ra ngay.
Hàm bậc ba khi nào không có cực trị?
Khi phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức biệt thức của tam thức y′ nhỏ hơn hoặc bằng 0. Lúc đó y′ không đổi dấu và hàm đơn điệu trên ℝ, ví dụ y = x³ + 3x hay y = x³.
Có được viết hàm nghịch biến trên ℝ \ {1} không?
Không. Với y = (2x + 1)/(x − 1), phải viết nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Hàm không nghịch biến trên hợp hai khoảng vì có x₁ < x₂ mà y(x₁) < y(x₂) khi hai điểm ở hai nhánh.
Công cụ có ra nghiệm dạng căn không?
Có, khi nghiệm là căn bậc hai. Ví dụ y = x⁴ − 4x² + 1 cho nghiệm ±√2, y = (x² + 2x + 3)/(x² + 1) cho nghiệm −1 − √2 và √2 − 1. Đa thức bậc cao không giải được bằng căn thì công cụ ghi số thập phân.
Bảng xét dấu khác bảng biến thiên ở đâu?
Bảng xét dấu chỉ cho biết một biểu thức dương, âm hay bằng 0 trên từng khoảng, dùng để giải bất phương trình. Bảng biến thiên cho biết hàm tăng, giảm và các giá trị, dựa trên bảng xét dấu của đạo hàm.
Quy tắc trong trái ngoài cùng là gì?
Với tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂: trong khoảng (x₁; x₂) tam thức trái dấu hệ số a, ngoài khoảng đó cùng dấu a. Khi Δ < 0 tam thức luôn cùng dấu a.
Xét hàm trên một đoạn thì nhập thế nào?
Nhập đầu đoạn và cuối đoạn vào hai ô Xét trên đoạn, ví dụ -1 và 3, hoặc 0 và 2pi. Bảng sẽ bắt đầu và kết thúc bằng giá trị của hàm tại hai đầu mút.
Vì sao hàm lượng giác chỉ được lập trên [0; 2π]?
Hàm lượng giác tuần hoàn nên y′ có vô số nghiệm trên ℝ, bảng sẽ dài vô hạn. Công cụ chọn một chu kỳ [0; 2π]; bạn nhập đoạn khác nếu đề yêu cầu.
Tải bảng biến thiên về máy thế nào?
Bấm Tải PNG phía trên bảng. Ảnh nền trắng, được xuất ở độ phân giải gấp đôi để in và chèn vào Word vẫn sắc nét.
Giá trị cực trị là số thập phân có đúng không?
Đúng tới bốn chữ số thập phân. Khi công cụ nhận ra dạng chính xác (phân số, căn bậc hai, π, e) thì in dạng chính xác; khi không, số thập phân là giá trị đã làm tròn.
Hàm trùng phương có mấy cực trị?
Hàm y = ax⁴ + bx² + c có ba cực trị khi a·b < 0 và một cực trị khi a·b ≥ 0 (với a ≠ 0). Ví dụ x⁴ − 2x² + 3 có ba cực trị, x⁴ + 2x² − 3 chỉ có một.
Dữ liệu nhập có được gửi lên mạng không?
Không. Mọi tính toán chạy trên trình duyệt; công cụ chỉ lưu hàm vừa nhập trong bộ nhớ trình duyệt để lần sau mở lại.
Từ khóa liên quan
- bảng biến thiên
- lập bảng biến thiên
- lập bảng biến thiên online
- cách lập bảng biến thiên
- vẽ bảng biến thiên
- bảng biến thiên hàm số bậc 3
- bảng biến thiên hàm bậc 4
- bảng biến thiên hàm phân thức
- bảng biến thiên lớp 12
- bảng xét dấu
- lập bảng xét dấu
- bảng xét dấu tam thức bậc 2
- xét dấu biểu thức
- khảo sát sự biến thiên
- khảo sát hàm số
- cực trị hàm số
- tiệm cận đứng tiệm cận ngang
- tiệm cận xiên
- đồng biến nghịch biến
- tính đơn điệu của hàm số